Representación regular izquierda de $L^1(G)$ para un grupo localmente compacto $G$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo localmente compacto (no discreto) y sea $L$ sea la representación regular izquierda de $A = L^1(G)$ sobre sí mismo, es decir $L: A \to \mathcal{B}(A)$ donde $L(f): A \to A$ , $L(f)(g) = f*g$ . Quiero demostrar que $\forall f\in A$ , $||L(f) - I|| \geq \frac{1}{2}$ donde $I$ es el operador de identidad en A.

Utilizando el hecho de que $L^1(G)$ tiene una identidad aproximada, se puede demostrar que $||L(f) - I|| \geq | ||f||_1 - 1|$ y así el problema se reduce a $f \in A$ tal que $\frac{1}{2}< ||f||_1 < \frac{3}{2}$ . No estoy del todo seguro de la utilidad de esto, pero es lo único que se me ha ocurrido hasta ahora. Cualquier sugerencia o indicación en la dirección correcta sería muy apreciada.

Edición: Todavía estoy bastante perdido en este problema. He intentado simplemente considerar el caso en el que $G = \mathbb{R}$ . En este caso he conseguido demostrar que es cierto si $f$ es una función indicadora en un intervalo, pero el método que he estado utilizando se desmorona al considerar combinaciones lineales finitas de tales funciones.

Answer 1

Parece feliz de que $L^1(G)$ tiene una identidad aproximada acotada. Permítanme ser un poco más preciso hay una red $(e_\alpha)$ de elementos de norma uno de $L^1(G)$ tal que $ae_\alpha \rightarrow a$ y $e_\alpha a\rightarrow a$ en norma, para cada $a\in L^1(G)$ . Así que para $f\in L^1(G)$ , $$ \|L(f)-I\| \geq \liminf_\alpha \|L(f)e_\alpha - e_\alpha\| = \liminf_\alpha \|f-e_\alpha\|. $$

Ahora sí que utilizaría alguna construcción de $e_\alpha$ . Si $G=\mathbb R$ , entonces podemos elegir un bai secuencial, digamos $$ e_n = 2n\chi_{[-1/n,1/n]}.$$ Entonces $$ \|f-e_n\|_1 = \|f\chi_{(-\infty,-1/n)}\| + \|f\chi_{(1/n,\infty)}\| + \int_{-1/n}^{1/n} |f-2n| $$ Por convergencia monótona los dos primeros términos convergen a $\|f\|$ . Utiliza la desigualdad del triángulo invertido en el término final para limitarlo desde abajo por $$ 1 - \int_{-1/n}^{1/n} |f| $$ que converge a $1$ por convergencia dominada. Así que $$ \|L(f)-I\| \geq \|f\|+1. $$

Para un general $G$ En este caso, sólo se ha optado por la generalización obvia de esta construcción de un bai (¡gracias a t.b. por sugerir este cambio de redacción!)

Por supuesto, si sólo necesita $1/2$ entonces podría haber un argumento más fácil...

Editar: Estoy tentado de usar eso $\|L(f)-I\|<1/2$ implica que $L(f)$ es invertible, pero no veo muy bien cómo usar esto ahora...