Ecuación diofantina sin solución elemental pero con solución simple no elemental

Question

¿Hay algún ejemplo de ecuación diofantina que satisfaga:

1. No se conoce ninguna solución utilizando elemental métodos.
2. Es simple para resolver utilizando no elemental (por ejemplo, utilizando campos numéricos).

Mi objetivo es encontrar una buena motivación para sumergirse en el álgebra avanzada para alguien que está acostumbrado a resolver todo utilizando métodos elementales, para mostrar que algo que es imposible de resolver elemental es realmente fácil utilizando técnicas avanzadas. Idealmente si la persona puede intentar atacar la ecuación por sí misma, rendirse y luego reconocer la solución "simple" usando técnicas avanzadas y entenderla (al menos la idea principal).

No es un problema encontrar algunas ecuaciones como tales en los libros de texto de Teoría de números, pero normalmente también se pueden resolver utilizando métodos elementales. Y si hay una ecuación que estoy seguro de que no se puede resolver con métodos elementales, es algo que tiene una demostración bastante complicada (un ejemplo extremo sería el último teorema de Fermat).

Actualización: Para mayor claridad, consideremos elemental para referirse a los métodos conocidos por Euler (o por los matemáticos de la época en general). En cuanto a simple solución utilizando técnicas avanzadas, eso es definitivamente subjetivo, y actualmente no tengo ni idea de cómo definirlo, pero creo que hay algún tipo de consenso entre los matemáticos sobre las cosas que son simples y elegantes.

Answer 1

Primero deberías definir "elemental" y "simple". Concedido esto, y estando de acuerdo informalmente en estos preliminares, creo que un buen ejemplo (aunque no "ridículamente" fácil de resolver usando técnicas avanzadas) sería la determinación de los primos $p$ que son de la forma $x^2 + ny^2$ para un número entero positivo dado $n$ . Véase el libro de David Cox del mismo título. Las soluciones particulares fueron dadas por Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss (¿se pueden llamar elementales sus métodos? Si no es así, consideremos sólo a Fermat y su método de "descenso"). La solución completa dice: "Sea $n$ sea un número entero positivo. Entonces hay un polinomio irreducible $f_n (X) \in \mathbf Z[X]$ tal que para un primo $p$ sin dividir $n$ ni disco $f_n$ , $p$ tiene la forma deseada si ( $-n/p$ )= $1$ y $f_n(X) \equiv 0$ mod $p$ tiene una solución entera".

Cox señala que aunque "el enunciado del teorema es elemental, el polinomio $f_n$ es bastante sofisticado: es el polinomio mínimo de un elemento primitivo del campo de clases de Hilbert de $K=\mathbf Q (\sqrt{-n})$ . Más concretamente, la prueba necesita teoría de campos de clases y leyes de reciprocidad superiores, y se utilizan funciones modulares y multiplicación compleja (= CFT explícita sobre un campo cuadrático imaginario) para proporcionar un algoritmo que dé una respuesta efectiva.

Answer 2

Creo que un buen ejemplo viene dado por la ecuación $$x^2-6y^2=1$$ Esta ecuación tiene infinitas soluciones enteras $(x,y)=(a_n,b_n)$ determinado por $$a_n+b_n\sqrt6=(5+2\sqrt6)^n\space\space........ (n\ge1)$$ Aquí el cálculo del número $5+2\sqrt6$ es obviamente "fundamental" y no es obvio en absoluto que haya infinitas soluciones si esta ecuación se mira desde "elemental".

En general, para cualquier entero positivo libre de cuadrados $d$ la ecuación (de Pell) $$x^2-y^2\sqrt d=1$$ también tiene infinitas soluciones enteras dadas por $$a_n+b_n\sqrt d=(a_0+b_0\sqrt d)^n$$ donde $a_0+b_0\sqrt d$ se denomina unidad fundamental del campo cuadrático $\mathbb Q(\sqrt d)$

NOTA .- Tener en cuenta aquí que elemental es un concepto relativo en matemáticas. Para mucha gente el texto anterior es bastante "elemental" .

Answer 3

Acepto informalmente su actualización sobre elemental vs. simple no elemental pero precisémoslo un poco más para poder continuar. Supongo que cada uno de nosotros tiene a su disposición una "caja de herramientas" favorita de conceptos, teorías, teoremas, etc. que utiliza para atacar problemas (resueltos o sin resolver) y que depende de su formación. Lo que quiero subrayar es que cada herramienta de un kit de este tipo se considera ya fabricada, lista para ser utilizada sin rechistar, de modo que lo que usted llama un método "simple no elemental" sólo consiste en una aplicación "ridículamente fácil" (según sus palabras anteriores) de las herramientas contenidas en un kit etiquetado como "no elemental". Si está de acuerdo, entonces :

1) Respecto a la ecuación diofantina $p = x^2+ny^2$ Creo que la solución explicada en el libro de Cox pertenece a la categoría "simple no elemental", el conjunto de herramientas es sólo CFT, y más aún cuando se restringe a $n$ squarefree, $n$ no es congruente con $3$ mod $4$ (esto es sólo thm. 5.1 de la primero capítulo)

2) Ya que estamos con problemas de sumas de potencias, he aquí un ejemplo quizá más convincente. Las sumas de 2 cuadrados pertenecen a la caja elemental llamada "Fermat", las sumas de 4 cuadrados a la caja (no tan) elemental llamada "Lagrange". Y qué decir del problema de Sylvester: ¿cuándo un primo es una suma de dos racional cubos, $p=x^3 + y^3$ ? Véase, por ejemplo

www.college-de-france.fr/site/don-zagier/lecon_inaugurale.htm

La respuesta es: (1) nunca para $p\equiv 2$ o $5$ mod $9$ (kit elemental "Fermat"); (2) siempre para $p\equiv4$ o $7$ mod $9$ (no elemental). En su curso, Zagier da 2 parejas verdaderamente "gigantescas $(x, y)$ para $p= 382$ y $1789$ (el "primo francés"), que tienden a mostrar que incluso una búsqueda informática de una respuesta negativa habría sido inútil; (3) se dispone de un criterio necesario y suficiente (pero no aterrizado) para $p\equiv 1$ mod $9$ . La caja de herramientas aquí podría etiquetarse como "conjetura de Birch & Swinnerton-Dyer". Más concretamente, la cuestión de Sylvester es equivalente a si el grupo Mordell-Weil $E_p (\mathbf Q)$ de la curva elíptica $E_p : x^3 + y^3 = p$ no es trivial, o bien si el rango $r_p$ de $E_p (\mathbf Q)$ es $>0$ . Según BSD, esto ocurre si el $L$ -función de $E_p$ desaparece en $s=1$ . Aunque BSD sigue siendo una conjetura, se conocen suficientes resultados parciales para demostrar las propiedades (1) - (3) anteriores. Subrayo que el conjunto BSD contiene aquí herramientas relacionadas con el valor especial $L(E , 1)$ unido a una curva elíptica $E/\mathbf Q$ no al problema específico de Sylvester. Una vez concedido el kit, el caso (2) es sencillo en su sentido. Pero el caso (3) no es sencillo, se basa en un teorema específico de la curva $E_p$ debido a Villegas-Zagier.

¿Cubre este ejemplo todos los aspectos de su pregunta sobre elemental/simple no elemental?