Teorema del binomio de Diferenciación?

Question

Me di cuenta de que $$\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)g(x)=\sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$$ and it's had me scratching for a little bit. It's easy to see how the cross terms add up but can anyone draw a direct comparison between the behavior being exhibited here and the binomial expansion? It seems to work for the case equivalent to the multinomial theorem as well ($\frac{d^{m}}{dx^{m}} \prod_{k=1}^{n} f_k(x)$). Alguien puede producir una prueba para este caso más general (preferiblemente por inducción)? Cualquier y todas las ideas son bienvenidas!

Answer 1

Expansión en series de Taylor de $f(x+h)$ $$ f(x+h)=f(x) h+\frac{d}{dx} \left(f(x) \right)+\frac{h^2 }{2!}\frac{d^2}{dx^2} \left( f(x) \right)+\frac{h^3 }{3!}\frac{d^3}{dx^3} \left( f(x) \right)+.... $$

Expansión en series de Taylor de $g(x+h)$ $$ g(x+h)=g(x) h+\frac{d}{dx} \left(g(x) \right)+\frac{h^2 }{2!}\frac{d^2}{dx^2} \left( g(x) \right)+\frac{h^3 }{3!}\frac{d^3}{dx^3} \left( g(x) \right)+.... $$

Expansión en series de Taylor de $f(x+h)g(x+h)$ $$ f(x+h)g(x+h)=f(x)g(x) h+\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x) \right)+\frac{h^2 }{2!}\frac{d^2}{dx^2} \left( f(x)g(x) \right)+\frac{h^3 }{3!}\frac{d^3}{dx^3} \left( f(x)g(x) \right)+.... $$

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$$ f(x+h)g(x+h)=f(x)g(x) h+\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x) \right)+\frac{h^2 }{2!}\frac{d^2}{dx^2} \left( f(x)g(x) \right)+\frac{h^3 }{3!}\frac{d^3}{dx^3} \left( f(x)g(x) \right)+....=(f(x) h+\frac{d}{dx} \left(f(x) \right)+\frac{h^2 }{2!}\frac{d^2}{dx^2} \left( f(x) \right)+\frac{h^3 }{3!}\frac{d^3}{dx^3} \left( f(x) \right)+....)(g(x) h+\frac{d}{dx} \left(g(x) \right)+\frac{h^2 }{2!}\frac{d^2}{dx^2} \left( g(x) \right)+\frac{h^3 }{3!}\frac{d^3}{dx^3} \left( g(x) \right)+....) $$

Si el fin de $h^n$, que le dará binom de expansión

$$\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)g(x)=\sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$$

Porque tiene exactamente el mismo coeficiente de

$$ =(1+hx +\frac{h^2 x^2 }{2!}+\frac{h^3x^3 }{3!}+....)(1+hy +\frac{h^2 y^2 }{2!}+\frac{h^3y^3 }{3!}+....)=e^{hx}e^{h}=e^{h(x+y)} $$

$$ e^{h(x+y)}=1+h(x+y) +\frac{h^2 (x+y)^2 }{2!}+\frac{h^3(x+y)^3 }{3!}+.... $$

Si el fin de $h^n$ $e^{hx}e^{hy}$ e igual a$h^n$$e^{h(x+y)}$ , que le dará binom de expansión de la prueba.

$$\frac{(x+y)^n }{n!}=\sum_{i=0}^n \frac{x^i y^{n-i}}{i! (n-i)!} $$

$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n \frac{n! x^i y^{n-i}}{i! (n-i)!} $$

$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i} x^i y^{n-i} $$

Así, también es cierto $$\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)g(x)=\sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$$

Answer 2

Esto es algo que suelen hacer por inducción (he corregido un error en la anotación), starng con $$ \frac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \frac{d}{dx}\left( f(x) \right)g(x) + f(x) \frac{d}{dx} \left( g(x) \right). $$ Aquí es como va: \begin{align}\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} f(x)g(x)&= \frac{d}{dx} \sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x) \\&= \sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x) + \sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x) \\&= \sum_{i=1}^{n+1} {n \choose i-1} f^{(i)}(x)g^{()n+1)-i)}(x) + \sum_{i=0}^n {n \choose i} f^{(i)}(x)g^{(n+1)-i)}(x)\\&= \sum_{i=0}^{n+1} \left( {n \choose i-1} + {n \choose i}\right) f^{(i)}(x)g^{(n+1)-i)}(x)\\&=\sum_{i=0}^{n+1} \left( {n+1 \choose 1}\right) f^{(i)}(x)g^{(n+1)-i)}(x).\end{align}