Siempre ganar sin una estrategia ganadora

Question

En la Página 141, el Axioma de Elección, Herrlich(2006)

Demostrar que si en un juego de la forma $G(1, X_1, Y_1, A)$, el primer jugador no tiene estrategia ganadora, a continuación, el segundo jugador puede ganar siempre, incluso aunque él no tiene una estrategia ganadora.

En esta pregunta, $G(1, X_1, Y_1, A)$ denota una secuencia de juego con dos jugadores. El primer jugador comienza con una selección de su espacio de acción $X_1$, y el segundo jugador el jugador sigue con una elección en $Y_1$. $A$ es un sub conjunto de $X_1 \times Y_1$, si el resultado pertenece a $A$, entonces el segundo jugador gana, de lo contrario, el primer jugador gana. Una estrategia ganadora para el primer jugador es una opción $x$$X_1$, de tal manera que $\{x\} \times Y_1 \bigcap A = \emptyset$ ,mientras que una estrategia ganadora para el segundo jugador es una función de $f:X_1 \to Y_1$, de tal manera que $X_1 \times f(X_1) \subseteq A$.

Estoy confundido con el escenario en el que el segundo jugador siempre gana sin una estrategia ganadora. ¿Por qué no se tautológica?

Answer 1

Supongamos que Jugador que no tiene estrategia ganadora, esto significa que por cada movimiento que hace, II puede encontrar un movimiento con el cual se asegura que el resultado es $A$. Decir que la II tiene una estrategia, es decir que hay una función en particular que asegura II de la victoria, en lugar de simplemente negar que me de la gana.

Uno podría argumentar que una forma posible de idear una estrategia para el segundo jugador sería tomar $f(S)$ (donde $S$ es un estado) para devolver un movimiento que niega que me de la gana desde el estado actual.

Sin embargo, si el axioma de elección falla tal elección no puede existir. Independientemente de que, por inducción podemos demostrar que II siempre se puede negar la victoria.

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Como Teorema 6.4 en la página. 139 estados este juego es siempre determinado si y sólo si AC se mantiene. Así que un contraejemplo tendría que venir de una situación en la que el axioma de elección se produce un error.

Deje $X=\omega$ y deje $Y$ ser un conjunto de Russell, que es un conjunto que puede ser dividido en una contables de la unión de los pares cuyo producto está vacía. Definimos la siguiente $A=\{(i,p)\mid p\in P_i\}$ donde $P_n$ $n$- ésimo par de fijos en una partición de $Y$ en pares.

Claramente Jugador que no tiene estrategia ganadora aquí, porque $P_i\neq\varnothing$, por lo que no puede asegurar su ganancia. Sin embargo II no tiene una estrategia ganadora, ya sea debido a que tales ganadora $f$ tendría que decirle II que elemento a elegir de $P_i$ todos los $i\in\omega$.

Si ganaba, a continuación, en alguna etapa II no elija $p\in P_i$, lo cual es absurdo. Así que a pesar II no tener una estrategia clara para ganar la batalla, que no puede perder.