Secuencia de suma pregunta: $\sum_{n=0}^{\infty}nk^n$

Question

Estoy muy confundido acerca de cómo calcular $$\sum_{n=0}^{\infty}nk^n.$$

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Supongo k es una constante (presumiblemente menor que 1 en valor absoluto).

A continuación, calculamos esto como un derivado de la serie de $f(x) = \dfrac{1}{1-x} = \displaystyle \sum x^n$. A continuación,$\displaystyle f'(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2} = \sum nx^{n-1}$. Así podemos observar que a lo $xf'(x) = \displaystyle \sum nx^n$. Dependiendo de cómo usted quiere que sus índices, usted puede o no puede necesitar añadir o quitar un par de términos. También, claramente, esto sólo funciona para cuando la serie geométrica converge.

Esa es la idea. Es que lo que quería?

Answer 2

Un poco más de generalidad da $$ \begin{align} \sum_{n=k}^\infty\binom{n}{k}x^n &=\sum_{n=k}^\infty\binom{n}{n-k}x^n\\ &=\sum_{n=k}^\infty(-1)^{n-k}\binom{-k-1}{n-k}x^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{-k-1}{n}x^{n+k}\\ &=x^k\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{-k-1}{n}x^n\\ &=x^k(1-x)^{-k-1} \end{align} $$ El uso de este con $k=1$ los rendimientos de su fórmula con nombres cambiados. Por lo tanto, $$ \sum_{n=1}^\infty nk^n=\frac{k}{(1-k)^2} $$ para $|k|<1$. Si $|k|\ge1$, la serie diverge.

Answer 3

Si se conoce el valor de la serie geométrica $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}x^n$ en cada una de las $x$ tal que $|x|<1$ y si usted sabe que para cada entero no negativo $n$, la derivada de la función polinómica $x\mapsto x^n$ $x\mapsto nx^{n-1}$ , usted puede obtener una idea (y prueba) de los valores de la serie $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}nx^{n-1}$, $x^{-1}$ veces más de lo que usted está buscando.

Answer 4

Asssuming $|k|<1$, esta serie converge uniformemente y, por tanto, de suma y de derivados se pueden intercambiar:

$\sum_{n=0}^{\infty}nk^n=k \sum_{n=0}nk^{n-1} = k \sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dk}(k^n) =k \frac{d}{dk} \sum_{n=0}^{\infty}k^n = k \frac{d}{dk}\frac{1}{1-k}=\frac{k}{(1-k)^2}$

EDIT: en caso de $k>1$ esta es una situación completamente diferente, como la serie geométrica se aleja, pero no sé cómo resolver este problema.

Answer 5

Por la prueba de razón de su serie converge para $|k|\lt 1$. Deje $|k|\lt 1$, considere la posibilidad de $$S_m=\sum_{n=0}^m nk^n.$$ Entonces $$\begin{align*} S_m &= 0 + k + \sum_{n=2}^m nk^n\\ &= k +\sum_{n=1}^{m-1}(n+1)k^{n+1}\\ &= k + k\sum_{n=1}^{m-1} nk^n + \sum_{n=1}^{m-1} k^{n+1}\\ &= k + k\sum_{n=1}^{m-1} nk^n + k^2\sum_{n=1}^{m-1} k^{n-1}\\ &= k + kS_{m-1} + k^2\sum_{n=0}^{m-2} k^n\\ &= k + kS_{m-1} + k^2\cdot \frac{1-k^{m-1}}{1-k}. \end{align*}$$ Sabemos que $S_m\to l$ algunos $l\in\mathbb{R}$. Tomando límites en la última igualdad hemos de llegar $$\begin{align*} \lim_{m\to\infty}S_m &= k+k\lim_{m\to\infty} S_{m-1}+\frac{k^2}{1-k}-\lim_{m\to\infty}\frac{k^{m+1}}{1-k}\\ l &= k+kl+\frac{k^2}{1-k}-0\\ (1-k)l &= k+\frac{k^2}{1-k}\\ l&= \frac{k}{1-k}+\left( \frac{k}{1-k} \right)^2\\ l&=\frac{k}{(1-k)^2}. \end{align*}$$