Si $f$ es un automorphism y $|\{a: f(a) = a^{-1}\}| = 3/4 |G|$ $G$ tiene un abelian subgrupo de índice $2$

Question

He editado la pregunta para quitar la primera parte ya está contestada aquí.

Deje $G$ ser un grupo finito y $f$ un automorphism de $G$$A = \{a\in G: f(a) = a^{-1}\}$.

Probar que si $|A| = 3/4 |G|$ $G$ tiene un abelian subgrupo de índice $2$.

He aquí algo (muy) relacionados.

Sugerencias o soluciones muy apreciado.

Answer 1

Sugerencia Si $a,b,ab \in A$ a continuación muestran que la $ab=ba$.

Ahora, elegir algún $a \in A$. El uso de la anterior sugerencia para mostrar que $|C(a)|>\frac{1}{2}|G|$ (hay menos de un cuarto de las malas decisiones de $b$ y menos de un cuarto de las malas decisiones de $ab$). Esto demuestra que $A \subset Z(G)$.

Desde $|Z(G)| >1/2 |G|$ el centro es $G$.

Para la segunda parte, tratamos de demostrar que si $a \in A$ $$C(a) \cap A \geq \frac{1}{2}|G|$$

Mostrar que $C(a) \cap A$ es un Abelian subgrupo de $G$. Desde $A \neq G$ de este subgrupo no puede ser todo.