Demostrando que $f(x)=0$ en todos los puntos de continuidad si $f$ es ortogonal a todos los polinomios

Question

Supongamos que la función $f$ es:

1) Función integrable de Riemann (no necesariamente continua) sobre $\big[a,b \big]$ ;

2) $\forall n \geq 0$ $\int_{a}^{b}{f(x) x^n} = 0$ (en particular, significa que la función es ortogonal a todos los polinomios).

Demostrar que $f(x) = 0$ en todos los puntos de continuidad $f$ .

Answer 1

Porque $f$ es un límite de 2-normas de polinomios, se puede deducir que $\int_a^bf(x)^2=0$ .

Supongamos ahora que $f(x_0)\ne0$ para algunos $x_0$ donde $f$ es continua. Toma $\varepsilon=|f(x_0)|/2$ por la continuidad en $x_0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(x_0)|<|f(x_0)|/2$ para todos $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$ . De la desigualdad del triángulo invertido tenemos $$ |f(x_0)|-|f(x)|<|f(x_0)|/2, $$ así que $|f(x)|>|f(x_0)|/2$ . Entonces $$ \int_a^b f(x)^2\geq\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)^2\geq\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)^2\geq\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x_0)^2/4=\delta f(x_0)^2/2>0, $$ una contradicción. Así que $f(x_0)=0$ .

Answer 2

Si sabes algo de análisis de Fourier, puedes utilizar el núcleo de Fejer y lo siguiente para concluir que $f=0$ en todos los puntos de continuidad: $$ \int_{a}^{b}f(x)e^{-isx}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-is)^n}{n!}\int_{a}^{b} f(x)x^n dx = 0,\;\;\; s\in\mathbb{R}. $$

Answer 3

Para simplificar la notación, supongamos que $f$ es integrable de Riemann en $[-1,1],$ $f$ es continua en $0,$ y $ \int_{-1}^1 p(x)f(x)\, dx =0$ para todos los polinomios $p.$ Queremos mostrar $f(0)=0.$

Supongamos, para llegar a una contradicción, que esto falla. Entonces WLOG $f(0)>0.$ Por la continuidad de $f$ en $0,$ existe $0<\delta < 1$ tal que $f>f(0)/2$ en $[-\delta,\delta].$

Definir $p_n(x) = \sqrt n(1-x^2)^n.$ Entonces

$$|\int_{\delta}^1 fp_n|\le M\sqrt n(1-\delta^2)^n.$$

El lado derecho $\to 0$ como $n\to \infty.$ Lo mismo para la integral sobre $[-1,-\delta].$

Por otro lado, para los grandes $n$ tenemos

$$\int_{-\delta}^{\delta} fp_n \ge (f(0)/2)\int_{-\delta}^{\delta} \sqrt n(1-x^2)^n\, dx \ge (f(0)/2)\sqrt n\int_{0}^{1/\sqrt n} (1-x^2)^n\, dx$$ $$ = \int_0^1 (1-y^2/n)^n\,dy \to \int_0^1 e^{-y^2}\,dy >0.$$

Esto demuestra que $\int_{-1}^1 p_n(x)f(x)\, dx >0 $ para grandes $n,$ y tenemos nuestra contradicción.