Referencias para la teoría matemática de la sumabilidad de series divergentes.

Question

De vez en cuando, no lo puedo evitar preguntar muy amplio preguntas. He leído (una parte de) Hardy Divergentes de la Serie. Entonces, creo que además de en las matemáticas, divergente de la serie y la necesidad de asignar valores a ellos no habían surgido. Pero hoy en día, por ejemplo, casi todas las explicaciones de los 26 dimensiones de Bosonic la teoría de cuerdas se ocupa de dicha cesión.

También, el internet, literalmente, explotó en Youtube explicando estos tipos de problemas (se omitió todas las pruebas). Preguntas:

• Están allí (más moderno) referencias de la teoría matemática de la summability de la divergencia de la serie, y su filosofía (I. e. el uso de tales cosas en la física) ?
• He visto divergente la serie de los números reales, la suma de un número complejo con los no-cero de la parte imaginaria. Hay algo más (por ejemplo, existen conocido divergentes de la serie que conducen a una cuádrupla) ?

Estoy marcado este con la meta, biglist y análisis, por razones obvias.

Answer 1

En cuanto al uso en la física, es posible que desee ver en estas referencias:

Invenciones del Diablo: Asintótica, Superasymptotic y Hyperasymptotic de la Serie. Este libro de John Boyd le da un buen panorama no técnico de la teoría moderna de la asintótica de la serie. Usted puede entonces, por supuesto, buscar en las referencias dadas en este libro para el estudio riguroso de los detalles de cualquier particualr tema.

Igor Suslov ha escrito un artículo de revisión sobre divergentes de la serie tal como se utiliza en la teoría cuántica de campos. Al igual que el libro de Boyd, esto también es bastante accesible para el público en general. Contiene una gran cantidad de detalles técnicos de algunos de los más populares resummation métodos utilizados en QFT.

Variacional teoría de la perturbación (también mencionado en Suslov del artículo), es un método para extraer el comportamiento asintótico de f(g) para las grandes g (la denominada cadena de acoplamiento de la serie) cuando algunos de los términos de su divergentes de perturbación de la serie en potencias de g puede ser computada (el llamado acoplamiento débil de la serie). Aquí se necesita la teoría subyacente que genera la serie, no es un simple resummation método que sólo opera en un determinado divergentes de la serie. Este método fue desarrollado por Hagen Kleinert, ha escrito este artículo de revisión sobre este tema.

Zinn-Justin orden dependiente del método de asignación es también un conocido resummation método. También puede utilizar este método para derivar el fuerte acoplamiento de la serie a partir de un determinado acoplamiento débil de la serie. Esto equivale a la aplicación de una conformación de transformar a la serie, la conformación de transformación tiene uno o más de los parámetros en ella y elegir estos parámetros que los últimos términos de la serie llegara a cero. Se puede argumentar que este rendimientos óptimos resummations (por ejemplo, se puede interpretar es como el óptimo de truncamiento, pero en lugar de sumar para el término de menor magnitud que están haciendo de la última conocida condiciones iguales a cero). La conformación de asignación es, pues, el fin de dependientes, ya que depende del orden de la serie.