Actualización bayesiana con 1 señal pero 2 incógnitas

Question

Supongamos que tengo una variable desconocida $X_i = \alpha_i + \beta_i$ donde $\alpha$ es uno de los 2 valores diferentes {${\alpha_1, \alpha_2}$} tal que $\alpha = \alpha_1$ con una probabilidad de $p_1$ $\beta$ se extrae de una distribución Gaussiana: $\beta$~$N(0,\sigma^2)$.

Supongamos que tengo una "señal" $Y=X+\epsilon$, donde $\epsilon$~$N(0,v^2)$ Mi objetivo es actualizar mis creencias acerca de la $\alpha$ $\beta$

He aquí mi respuesta: Es tratar a los dos por separado.

Supongo que fue dada a $\beta$. Entonces mi "señal" de $\alpha$ $=Y-\beta$ y mi actualizados probabilidad de que $\alpha=\alpha_1$ es:

$P(\alpha=\alpha_1|Y,\beta)=\frac{p_1\phi(\frac{Y-\beta-\alpha_1}{v})}{p_1\phi(\frac{Y-\beta-\alpha_1}{v})+(1-p_1)\phi(\frac{Y-\beta-\alpha_2}{v})} \space \space$ (1)

donde $\phi$ es la normal estándar pdf

Del mismo modo, la actualización de la distribución de $\beta$ $\alpha$ es

$(\beta|\alpha,Y)$ ~ $N(\mu_1,\sigma^2_1)$ donde $\mu_1 = \frac{\sigma^2}{\sigma^2+v^2}*(Y-\alpha)$ $\sigma^2_1 = \frac{\sigma^2}{\sigma^2+v^2}*v^2\space \space$ (2)

No estoy realmente seguro de cómo proceder. Mi objetivo es escribir algo como:

$P(\alpha=\alpha_1|Y)=\int P(\alpha=\alpha_1|Y,\beta)dH(\beta)$ Pero no estoy seguro de la distribución de $H()$ a utilizar.

Edit: supongo que me podría recorrer de ida y vuelta entre los métodos anteriores, pero Idealmente, yo estoy en busca de un más la forma cerrada de la solución

Answer 1

Yo creo que se quiere actualizar sus creencias acerca de $\alpha$ $\beta$ conjunto, no por separado. A continuación, puede utilizar la regla de Bayes para escribir $p(\alpha,\beta|Y)\propto p(Y|\alpha,\beta)p(\alpha,\beta)$. Suponiendo que la articulación antes de $(\alpha,\beta)$ es sólo el producto de las marginales de los priores, creo que esto funciona a: $$ p(\alpha,\beta|Y) = \frac{\sum_{j=1}^2 \delta(\alpha\alpha_j)p_j \phi\left(\frac{\alpha_j-Y}{\sqrt{\sigma^2+\nu^2}}\right)\phi\left(\frac{\beta-m_j}{\sigma_1}\right)}{\sum_{j=1}^2 p_j \phi\left(\frac{\alpha_j-Y}{\sqrt{\sigma^2+\nu^2}}\right)}, $$ donde $m_j\equiv(Y-\alpha_j)\sigma^2/(\sigma^2+\nu^2)$, $\delta$ es la delta de Dirac, y $\phi$ $\sigma_1$ se definen como en la pregunta. Si sólo quieres el marginal posterior para $\alpha$, se pueden integrar más de $\beta$ y la respuesta será la misma sin el factor de $\phi\left(\frac{\beta-m_j}{\sigma_1}\right)$.