Estoy trabajando con
$$ \int \frac{e^x}{(e^x - 1)(e^x + 2)}dx $$
Por lo tanto, sé que voy a hacer una u-sub y una descomposición parcial de la fracción.
Dejaré que
$$ u = e^x $$
Haciendo mi ecuación $$ \int \frac{u}{(u - 1)(u + 2)} $$
Entonces hago mi descomposición parcial de la fracción.
$$ u = A(u + 2) + B(u - 1) $$
Sea u = -2, $$ B(-2 - 1) = -2$$ por lo tanto $$B = \frac{2}{3} $$
Sea u = 1, $$ A(1 + 2) = 1$$ por lo tanto $$ A = \frac{1}{3} $$
Esto me deja con
$$ \int \frac{u}{3(u - 1)} + \frac{2u}{3(u + 2)} $$
¿A dónde voy a partir de aquí? ¿Confirmo $e^x$ ¿volver a entrar por ti y anular las condiciones? Si hago eso, ¿no tendré que preocuparme de que el fondo de la fracción pueda ser 0?
Editar: Rehacer sin dejar caer el du.
Dejemos que $u = e^x$ y $du = e^x dx$
Dándome $$ \int \frac{du}{(u-1)(u+2)} $$
Entonces, si divido esto, tengo
$$ \int \frac{du}{3(u-1)} + \int \frac{2du}{3(u+2)} $$
Esto me da
$$ \int \frac{1}{3(u-1)} + \int \frac{2}{3(u+2)} $$
Así que para la primera parte, dejaré que $w = u - 1$ y llevar el $\frac{1}{3}$ en el frente
$$ \frac{1}{3} \int \frac{dw}{w} $$
Esto me da
$$ \frac{1}{3} ln | w | $$
que al final me da
$$ \frac{1}{3} ln | e^x - 1 | $$
Haz lo mismo para el otro lado, deja $w = u + 2$ y llevar la fracción al frente
$$ \frac{2}{3} \int \frac{dw}{w} $$
que me da
$$ \frac{2}{3} ln | e^x + 2 | $$
los pongo juntos y mi respuesta final es
$$ \frac{1}{3} ln | e^x - 1 | - \frac{1}{3} ln | e^x + 2 | + c $$
¿Le parece correcto? - Revisado y corregido ahora :)
