Si sé que todos los números en un conjunto son coprime, por ejemplo, el conjunto de números Fermat , ¿es posible probar el infinito de los números primos?
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si el conjunto es infinito, entonces sí. La razón es simple: por la singularidad de la factorización de enteros en números primos, cada miembro de su conjunto tiene un factor primordial que ningún otro miembro de su conjunto tiene. Por lo tanto, debe haber al menos tantos números primos como el tamaño de tu conjunto. Si tu conjunto es infinito, ya has terminado.
Espero que ayude,
jmans
Puntos
3018
Si $S$ es un conjunto infinito de números enteros ( de tal manera que cualquiera de los dos miembros distintos de los que son primos relativos, entonces el conjunto de los números primos tiene que ser infinita. Dado un conjunto de $S$, aquí es un procedimiento para producir una lista infinita de distintos números primos. Desde $S$ es infinito, elija $a_1\in S$ diferente de $1,0,-1$. Deje $p_1$ ser un primo que divide a $a_1$. Ahora supongamos que ya había escogido $a_1,\cdots ,a_n\in S$ y los primos $p_1,\cdots, p_n$ tal que $p_k$ divide $a_k$ todos los $k=1,\cdots, n$, y la de los números primos son distintos. Deje $a_{n+1}\in S-\{a_1,\cdots ,a_n\}$ y diferente de lo $1,-1,0$. Deje $p_{n+1}$ ser cualquier primer dividiendo $a_{n+1}$. Desde $gcd(a_k,a_{n+1})=1$ todos los $k=1,\cdots ,n$, se deduce que el $p_{n+1}\notin \{p_1,\cdots ,p_n\}$. Este proceso nunca termina, lo que produce una infinita lista de los distintos números primos.
