Orden de distribución

Question

Deje $T$ ser Schwartz distribución. Supongamos que la siguiente desigualdad se cumple $T(\phi) \leq \textrm{const} ~\| \tilde{\phi}\|_1$ para cualquier $\phi \in S(\mathbb{R})$ ($\tilde{\phi}=\mathcal{F}(\phi)$ es la transformada de Fourier de $\phi$ $\|\cdot \|_1$ $L^1$ norma). Lo que podría decirse acerca de la orden de esta distribución?

Si $\phi_a(x)=\phi(ax)$$\| \tilde{\phi}_a\|_1=\| \tilde{\phi}\|_1$$T(\phi_a)\leq \textrm{const} ~\| \tilde{\phi}\|_1$. A causa de ello, Supongo que $T$ es de orden 0, que significa $T(\phi)\leq \textrm{const} ~\sup_{x\in\mathbb{R}} |\phi(x)|$. Estoy en lo cierto?

El orden de $T$ no es ciertamente mayor que 1: Vamos $t=1$, $\phi \in \mathcal{D}(K)$, $K\subset \mathbb{R}$, compacto, $\| \tilde{\phi} \|_1 = \int d p \frac{1}{1+|p|^t} (1+|p|^t) |\tilde{\phi}(p)| \leq \left(\int d p \frac{1}{(1+|p|^t)^2} \right)^{1/2} \left( \int d p (1+|p|^t)^2 |\tilde{\phi}(p)|^2\right)^{1/2} \leq \textrm{const} \left( \int d p ||p|^t\tilde{\phi}(p)|^2\right)^{1/2} \leq \textrm{const} \left( \int d p |\mathcal{F}(\phi')(p)|^2\right)^{1/2}=\textrm{const} \left( \int d p |\mathcal{F}(\phi')(p)|^2\right)^{1/2} = \textrm{const} \left( \int d x |\phi'(x)|^2\right)^{1/2} \leq \textrm{const} \sup_{x} |\phi'(x)|$.

Cómo se puede estimar el $||p|^t\tilde{\phi}(p)|$ $1/2<t<1$ ($t=1$ tenemos $||p|^t\tilde{\phi}(p)|< |\mathcal{F}(\phi')(p)|$)?

Answer 1

Deje $\phi \in \mathcal{S}$ un Schwartz función tal que $\text{spt} \, \phi \subseteq K$ para un conjunto compacto $K$. Por el teorema de Plancherel,

$$\|\tilde{\phi}\|_{L^2} = c_1 \|\phi\|_{L^2}. \tag{1}$$

(La constante de $c_1$ depende de la definición de la transformada de Fourier). $\tilde{\phi}$ es un Schwartz función, por lo tanto

$$\begin{align*} \int_{\mathbb{R} \backslash [-1,1]} |\tilde{\phi}(\xi)| \, d\xi \leq \underbrace{\left( \int_{\mathbb{R} \backslash [-1,1]} \frac{1}{\xi^2} \, d\xi \right)^{\frac{1}{2}}}_{=:c_2} \cdot \left( \int \xi^2 \cdot |\tilde{\phi}(\xi)|^2 \, d\xi \right)^{\frac{1}{2}} = c_2 \cdot \|\widetilde{\partial_x \phi}\|_{L^2} \stackrel{(1)}{=} c_1 \, c_2 \, \|\partial_x \phi\|_{L^2}\end{align*}$$

usando ese $-\imath \xi \tilde{\phi}(\xi) = \widetilde{\partial_x \phi}(\xi)$ donde $\partial_x \phi(x) := \frac{d}{dx} \phi(x)$. Por otra parte,

$$\begin{align*} \int_{-1}^1 |\tilde{\phi}(\xi)| \, d\xi &\leq 2 \cdot \|\tilde{\phi}\|_{\infty} \leq 2 \|\phi\|_{L^1} \end{align*}$$

En consecuencia, obtenemos

$$|T\phi| \leq c \|\tilde{\phi}\|_{L^1} \leq c \cdot \left(c_1 \cdot c_2 \|\partial_x \phi\|_{L^2}+2 \|\phi\|_{L^1} \right)$$

Por lo tanto,

$$|T\phi| \leq C (\|\phi'\|_{\infty}+\|\phi\|_{\infty}) \cdot (\sqrt{\lambda(K)}+\lambda(K))$$

donde $\lambda$ denota la medida de Lebesgue. Esto demuestra que $T$ es de orden menor que $2$.