series convergentes, secuencias?

Question

Quiero construir una secuencia de números racionales cuya suma converja a un número irracional y cuya suma de valores absolutos converja a 1.

Puedo encontrar / construir muchos ejemplos que tengan una u otra propiedad, pero tengo problemas para encontrar / construir una que tenga estas dos propiedades.

¿Alguna pista (no soluciones)?

Answer 1

Aquí hay una forma probabilística. Considere una secuencia iid$(X_n)_{n\geqslant1}$ de las variables aleatorias de Bernoulli tal que$\mathbb P(X_n=+1)=\mathbb P(X_n=-1)=\frac12$. Entonces$X=\sum\limits_{n\geqslant1}2^{-n}X_n$ se distribuye uniformemente en$[-1,1]$ por lo tanto,$X$ es irracional con probabilidad$1$. Y naturalmente,$\sum\limits_{n\geqslant1}2^{-n}|X_n|=1$.

Una forma determinista es la siguiente. Elija cualquier número irracional$z$ en$(0,1)$, con expansión binaria$z=\sum\limits_{n\geqslant1}z_n2^{-n}$, donde cada$z_n$ está en$\{0,1\}$. Para cada$n\geqslant1$, considere$x_n=(2z_n-1)2^{-n}$. Entonces$\sum\limits_{n\geqslant1}x_n=2z-1$ es irracional y$|2z_n-1|=1$ para cada$n\geqslant1$ por lo tanto$\sum\limits_{n\geqslant1}|x_n|=1$.

Answer 2

Encuentra dos números irracionales$a > 0$ y$b < 0$ tales que$a-b = 1$ pero$a+b$ es irracional. Cree una serie con términos positivos que sumen$a$ y otra serie con términos negativos que sumen$b$. Combina las dos series.

Answer 3

Deje que$\alpha$ sea un número irracional en$(0,1)$. Luego, para una elección adecuada de$\epsilon_n\in\{\pm1\}$, puede lograr$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\epsilon_n}{2^n}=\alpha\qquad\text{and}\qquad\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}=1.$ $ Para hacerlo, defina$\epsilon_n$ recursivamente: si$\epsilon_k$ ya es conocido por$k<n$ tal que$|s_{n-1}-\alpha|<\frac{1}{2^{n-1}}$ para la suma parcial$s_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\epsilon_k}{2^k}$, seleccione$\epsilon_n=+1$ si$\alpha>s_{n-1}$ y$\epsilon_n=-1$ si$\alpha<s_{n-1}$. El caso$\alpha=s_{n-1}$ no ocurre, porque$\alpha$ es irracional. Con esta opción,$|s_n-\alpha|=|s_{n-1}+\frac{\epsilon_n}{2^n}-\alpha|= |\frac1{2^n}-\frac{\alpha-s_{n-1}}{\epsilon_n}|<\frac 1{2^n}$ porque$<\frac{\alpha-s_{n-1}}{\epsilon_n}<2\cdot\frac 1{2^n}$.

Otra forma de ver esto es: Los$\frac{1-\epsilon_n}2\in\{0,1\}$ son esencialmente la expansión binaria de$\frac{1-\alpha}2$.