Entendiendo los resultados de la ortogonalización de Gram-Schmidt

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de Gram-Schmidt, y entiendo lo que hace, pero estoy teniendo problemas para mostrar por qué funciona.

Por ejemplo, supongamos $P_k$ $k=1,...,p$ ser una proyección de la matriz por una matriz de $A_{1:k}$ (para la primera $k$ columnas). Entonces digamos que tenemos $u_1 = a_1$, y cualquier $u_k = (I-P_{k-1})a_k$ por cada $k$. ¿Cómo puedo:

1) Muestran que el $u_k$ son ortogonales

2) Muestran que el lapso de $u_1,...,u_k$ es el mismo que el intervalo de $a_1,...,a_k$ por cada $k=1,...,p$.

Me siento un poco tonto, porque me doy cuenta de que estos resultados son el punto de Gram-Schmidt. #2 yo pensaba que debería ser especialmente obvio, pero cuando traté de demostrar que no tengo donde rápidamente. Yo estaba tratando de tomar ventaja del hecho de que $P$ es simétrica/idempotente, pero tal vez ese no es el enfoque a tomar? Alguien puede ayudar? Realmente lo apreciaría.

Answer 1

Deje $V_k = [\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}]$ ser lineal lapso de la primera $k$ base de los elementos, y deje $P_k$ ser la proyección ortogonal de un espacio lleno $V$ sobre el subespacio $V_k$. La dimensión de $V_k$$k$. Por definición de $P_k$, el vector $P_kx$ es el único vector que $$P_kx \en V_k,\;\;\;(x - P_k x)\asesino V_{k-1}.$$ (Es necesario un tratamiento especial para $k=1$ del curso). Por lo tanto,$v_k = a_k-P_{k-1}a_k$$V_k$$v_k \perp V_{k-1}$, lo que da $$v_k \asesino v_{j},\;\;\; j=1,2,\cdots,k-1.$$ Ninguno de los $v_k$ $0$ porque $v_k =a_k-P_{k-1}a_k\notin V_{k-1}$. Por lo $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$ es un conjunto de no-cero mutuamente ortogonales los vectores cuya longitud es de contenido en $V_k$, lo que significa que $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$ es una base de $V_k$, debido a la dimensión.