Flujo en colector compacto

Question

Estas preguntas que parecen sencillas, pero no he encontrado la respuesta en la web (tengo ningún matemático en mi barrio).

Hace un continuo inyectiva función de $E$ $E$tienen que ser surjective, donde $E$ es el $n$-esfera, el $n$-toro, o más en general, un compacto colector sin límite? (He encontrado simple contraejemplos en caso de que el colector no es compacto, o tiene un límite)

El caso de $E=S^1$ se resuelve en "Un inyectiva mapa continuo en la unidad de la esfera es un homeomorphism", pero no puedo generalizar el argumento.

La motivación inicial de mi pregunta viene de un flujo definido en una esfera (o toro), que es inyectiva. Y la necesito para ser surjective así para definir un nuevo sistema de coordenadas en la esfera.

Gracias de antemano!

Answer 1

(Esto está escrito al revés, como me di cuenta de qué herramientas se necesario. Lo siento!)

Supongamos que $M$ es un compacto de colector sin límites de la mera dimensión $n$. Deje $f : M \to N$ ser un mapa que es continua e inyectiva, y deje $N$ ser conectado a un colector de la misma dimensión como M., a Continuación, $f$ es también surjective.

Pf: La imagen debe ser compacto, por lo tanto cerrado. Vamos a mostrar que la imagen también está abierto, por lo tanto, por la conexión de $N$ debe ser todos los de $N$ (esto es, obviamente, no-vacío). La imagen es homeomórficos a $M$, el uso de la compacidad de nuevo para garantizar que el conjunto teórico de la inversa es continua, y por lo tanto la imagen es localmente homeomórficos a $R^n$. (Esto es que se está utilizando la suposición de que $M$ no tiene límite.) Ya podemos comprobar si la imagen está abierto por la restricción a la Euclídea gráficos en el codominio, estamos reducidos a la siguiente lema.

Lema: Supongamos que $V$ es un subconjunto de a $R^n$, por lo que con la inducida por la topología de subespacio, $V$ es homeomórficos a un colector de dimensión $n$. A continuación, $V$ está abierto en $R^n$.

Pf: Podemos reducir de nuevo para el caso de que $V$ es homeomórficos a $R^n$. Así que tenemos que mostrar que cualquier subespacio de $R^n$ homeomórficos a $R^n$ es un conjunto abierto.

Este es un teorema en Hatcher, 2B.3: "Si un subespacio $X$ $R^n$ es homeomórficos a un conjunto abierto en $R^n$, $X$ es en sí misma abierta en $R^n$."

Voy a copiar el argumento aquí. Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta acerca de ello! (O usted puede ir y leer en la Nacedora. No sé por qué he escrito esto, pero me hizo. Está bien, lo admito. Fue así que me gustaría leer su argumento cuidadosamente...)

Prueba:

1. Respecto a $S^n$ como el punto de compactification de $R^n$. Vamos a mostrar que el $X$ está abierto en $S^n$.
2. Para un punto de $x \in X$, vamos a $D$ ser un barrio homeomórficos a un disco está cerrado, y deje $S$ ser el límite.
3. A continuación, $S^n - D$ está abierto, y está conectado por el lema de abajo - un cálculo de homología). También, $S^n - S$ está abierto, y tiene dos componentes. (También por el lema de abajo).
4. Por lo tanto, $S^n - S$ se descompone como la inconexión de la unión de los conjuntos conectados $S^n - D$$D - S$, por lo que estos deben ser los componentes de $S^n - S$. Por lo tanto, $D - S$ está abierto en $S^n$, ya que es un componente del conjunto abierto $S^n - S$, y de ahí se da un abrir barrio de $x$$S^n$, que está contenida en $X$. Por lo $X$ está abierto.

Lema: la Homología de los cálculos (Hatcher 2B.1)

a) Si $D$ es un subespacio de $S^n$ homeomórficos a $D^k$ algunos $k \geq 0$, $\tilde{H}_i(S^n - D) = 0$ todos los $i$. b) Si $S$ es un subespacio de $S^n$ homeomórficos a $S^k$ algunos $k$$0 \leq k < n$, $\tilde{H}_i(S^n - S) $ $Z$ $i = n - k - 1$ y 0 los demás.

Pruebas:

a)

1. La prueba es por inducción. El caso de al $k = 0$ es fácil, porque, a continuación,$S^n - D \cong R^n$.

2. $h : I^k \to D$ es un homeomorphism. Deje $A = S^n \setminus h(I^{k-1} \times [0,1/2])$$B = S^n \setminus h(I^{k-1} \times [1/2,1])$. Por lo $A \cap B = S^n - D$$A \cup B = S^n \setminus h(I^{k-1} \times {1/2})$.

3. El paso inductivo nos dice $\tilde{H_i}(A \cup B) = 0$ todos los $i$, por lo que Mayer-Vietoris da $\phi : \tilde{H_i}(S^n - D) \to \tilde{H_i}(A) \oplus \tilde{H_i}(B)$ todos los $i$.

4. Este mapa $\Phi$ es inducidos por las inclusiones $S^n - D \to A$. (Hay señales en el de Mayer-Vietoris secuencia para hacerlo exacto, pero ignorarlas aquí.) El punto es que si hay un $i$-dimensiones del ciclo de $\alpha$ $S^n - D$ que no es un límite en $S^n - D$, $\alpha$ no es un límite en $A$ o $B$.

5. Repetimos esta última idea, cortar la última $I$ factor de $I^k$ en pedazos más finos para intentar reducir a la menor dimensión de la caja del disco. Nos encontramos con una secuencia de $I_1 \supset \ldots$ de intervalos cerrados en $I$ con un punto de intersección $p \in I$, de modo que $\alpha$ no es un límite en $S^n \setminus h(I^{k-1} \times I_m$ por cada $m$. Por el paso inductivo, $\alpha$ es el límite de una cadena de $\beta$$S^n \setminus h(I^{k-1} \times {p})$. Desde $\beta$ es una combinación lineal finita de singular simplices, su apoyo es compacto, y por lo tanto va a ser en algunas de las $S^n \setminus h(I^{k-1} \times I_m)$. Esta es una contradicción, por lo tanto, en realidad $\alpha$ era un límite.

b) en El caso base, al $S$ es de dos puntos, de nuevo es fácil, como $S^n$ menos de dos puntos es $S^{n-1} \times R$. Para hacer el paso inductivo, se escribe el k esfera $S$ como una unión de dos $k$ dimensiones de los discos. A continuación, vamos a $A = S^n - D_1$$B = S^n - D_2$. Ambas han trivial reducción de homología por el argumento de la anterior, y la de Mayer Vietoris secuencia da isomorphisms $\tilde{H_i(S^n - S)} \cong \tilde{H_{i+1}}(S^n - (D_1 \cap D_2))$. (aquí usamos ese $A \cap B = S^n \setminus S$$A \cup B = S^n \setminus (D_1 \cap D_2)$.