Por curvatura me refiero a la curvatura intrínseca, si es que existe la curvatura extrínseca de un toroide.
Si un toroide tiene curvatura negativa en algunos puntos y positiva en otros ¿no debería haber puntos con curvatura cero ya que es una superficie continua?
La curvatura gaussiana es $R = \frac{\cos v}{a(c+a \cos v)}$ . Esto desaparece para $v =\pm \pi/2$ es decir, los puntos "superior" o "inferior". Véase aquí para el cálculo de la métrica del toroide. La curvatura gaussiana es continua. Por lo tanto, tiene que desaparecer, ya que toma valores positivos y negativos como el OP notado.
Tu argumento utilizando la continuidad es esencialmente correcto, siempre que lo aumentes con el argumento de Gauss-Bonnet mencionado en el comentario de @MichaelAlbanese. Ese argumento te dice que la integral de la curvatura seccional respecto al área es igual a cero (y "curvatura seccional" es lo que deberías tomar como "curvatura intrínseca").
En consecuencia, o bien la curvatura seccional es una constante igual a cero, o bien tiene un valor distinto de cero. Además, si la curvatura seccional tiene un valor distinto de cero entonces debe tener un valor de signo contrario --- si, digamos, el valor es positivo en algún punto entonces el conjunto de puntos donde tiene valor positivo tiene área distinta de cero, y la integral de la curvatura seccional sobre ese conjunto es positiva, por lo que deben existir puntos con curvatura seccional negativa para que la integral total de la curvatura seccional resulte cero. Y finalmente, una vez que se sabe que la curvatura seccional tiene valores positivos y negativos, se aplica tu argumento de continuidad.
Vale, todo eso tiene sentido. Entiendo que cuando por ejemplo integras la curvatura gaussiana sobre una esfera obtienes 4 que es igual a 2 veces la característica de Euler. Pero que es exactamente esa curvatura gaussiana por ejemplo de una esfera o un toro. Se supone que es intrínseca, pero la gente siempre dice que es 1/r al cuadrado, que no es intrínseco a la esfera, o utilizan una base.
Quizá su verdadera pregunta sea: ¿cuál es la definición intrínseca de curvatura? Para eso, deberías coger un libro de geometría diferencial y leerlo. Pero no confundas el concepto intrínseco de curvatura con el resultado de una fórmula computacional para la curvatura en ejemplos concretos. Claro, la esfera de radio $r=1$ no es isométrica a la esfera de radio $r=2$ y (entre otras razones) eso se debe a un intrínseco cálculo que se puede realizar, con el resultado de que sus curvaturas son números reales desiguales, curvatura $1$ para el radio $1$ y curvatura $1/4$ para el radio $2$ .
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No lo entiendo. El toro plano $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ tiene curvatura constante igual a cero.
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Si incrustas un toroide en $\mathbb{R}^3$ que tiene puntos de curvatura cero.
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Toda métrica en un toro bidimensional tiene un punto de curvatura cero. Esto se deduce del teorema de Gauss-Bonnet.