Convergencia de los promedios ergódicos.

Question

Deje $(X_n)_{n\in\mathbb N_0}$ ser un tiempo homogéneo de la cadena de Markov en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con el cambio de kernel $\pi$, medida invariante $\mu$ y la distribución inicial $\nu$. Deje $f\in\mathcal L^1(\mu)$ e $$A_{b,\:n}f:=\frac1n\sum_{i=b}^{b+n-1}f(X_i).$$

Suponiendo que el total de la variación de la distancia de $|\mu-\nu\pi^n|$ tiende a $0$ como $n\to\infty$, se reivindica aquí en el Teorema 3.18 que $$A_{b,\:n}f\xrightarrow{n\to\infty}\int f\:{\rm d}\mu.$$ In the proof, the author is basically reducing the problem to the case $\nu=\mu$ (i.e. the chain is started in stationarity). However, even in that case, we should need that $\operatorname P_\nu:=\nu\pi$ (composition of transition kernels) is ergodic with respect to the shift $$\tau:\mathbb R^{\mathbb N_0}\to\mathbb R^{\mathbb N_0}\;,\;\;\;(x_n)_{n\in\mathbb N_0}\mapsto(x_{n+1})_{n\in\mathbb N_0}.$$ Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

[Hubo un error en mi respuesta inicial; he corregido ahora.]

Creo que tienes razón:

Si $\mu$ sólo es invariante y no ergodic,$^\ast$ si tomamos el caso sencillo en el $\nu=\mu$, el ergodic promedios $A_{b,n}f$ converge casi seguramente a la variable aleatoria $\mathbb{E}_\mu[f|\mathcal{I}](X_k)$ (que también puede ser escrito como $\mathbb{E}_\mathrm{P}[f(X_k)|X_k^{-1}\mathcal{I}]$), donde $k$ puede ser cualquier número natural y $\mathcal{I}$ es el $\sigma$-álgebra de conjuntos medibles $A$ satisfacción $\pi(x,A)=1$ para $\mu$-casi todos los $x \in A$. Esta limitante de la variable aleatoria es sólo la igualdad (mod null conjuntos) a la constante $\mu(f)$ si $\mu$ es ergodic.

Así que creo que un adicional de ergodicity condición está destinado a estar allí. De hecho, el Corolario 2.15-que es probablemente el "caso estacionario" de la CLT mencionada varias veces en la Sección 3.4.3 (incluyendo la declaración del Teorema 3.18) -- explícitamente asume ergodicity.

[Por cierto, $\mathrm{P}_\nu$ no $\nu\pi$ - que sería el mismo que $\nu$ si $\nu=\mu$ -- ni cualquier otro tipo de "composición" de $\nu$ con $\pi$. Se trata de una medida en el espacio de secuencias, así como tú han escrito, definida como la ley de un conjunto homogéneo de Markov proceso de transición con el kernel $\pi$ y la distribución inicial $\nu$.]

$^\ast$Ergodicity de $\mu$ (con respecto al $\pi$) se define como lo que significa que las condiciones equivalentes en el Teorema 2.1, están satisfechos.