Dado el triángulo isósceles $ABC$, en el que $AB$ es de 12 pulgadas y la altura $CD$ es de 3 pulgadas, encontrar el punto de $P$ en CD tal que la suma de las distancias de P a partir de los vértices es un mínimo.
Este problema parecía bastante simple. He aquí la ecuación que puse arriba:
$$2\sqrt{x^2+36} + 3 - x = d$$
Entonces, tomé la derivada, póngalo a cero, y la esperanza de encontrar el mínimo: $$2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+36}} -1 = d'$$ $$\frac{2x}{\sqrt{x^2+36}} = 1$$ $$4x^2 = x^2 + 36$$ $$x = 2\sqrt{3}$$
En primer lugar, mi libro dice que la respuesta debe ser donde el punto C se encuentra (i.e, la longitud de la $x = 3$ pulgadas). En segundo lugar, $2\sqrt{3} > 3$.
Si estoy en lo cierto, me gustaría saber cómo interpretar este resultado (como yo había obtenido respuestas similares para preguntas anteriores). Si no estoy bien, me gustaría saber cómo puedo jodido algo tan básico para poder luego proceder a bash mi cabeza en la pared para el próximo par de horas (no realmente).
Gracias.
Edit: he Aquí una foto mejor.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No explican cómo se derivan de su consejo de ecuación; las cosas podrían haber salido mal en alguna parte por ahí. Considere esto:
Si tomamos el punto de $A$ nuestro origen de coordenadas, a continuación, $B$ hace $(12,0)$ e $C$ hace $(m,3)$, donde $0<m<12,$ indica la longitud de $AD.$ Las distancias desde nuestro punto de $(m,y)$ a partir de los tres vértices es el siguiente: $$\begin{align}{|PA|=\sqrt{y^2+m^2}\\ |PB|=\sqrt{y^2+(m-12)^2}\\ |PC|=\sqrt{(y-3)^2}\\ }\end{align},$$ so that it is their sum that you want to minimize as $y$ varies in the bounds $[0,3].$
Usted debe ser capaz de seguir desde aquí?
Edit: Cuando me tomó nota del hecho de que $|AC|=|CB|,$ por lo que, en consecuencia, $m=6,$ y simplificado, diferenciados y conjunto de nulidad, tengo $$4y^2(y-3)^2=(3-y)^2(y^2+36).$$ It is now easy to see where OP lost his solution, since it is very tempting to cancel the equal factors; but recall that $3$ is in the domain of $y,$ so that we cannot legitimately cancel. Thus, letting $K=(3-y)^2,$ we get $$(4y^2-y^2-36)K=0,$$ from which we also get the possibility $y=3.$
La esperanza OP no te golpeas la cabeza contra una pared. :)
Muy bien, entonces creo que entiendo por qué la respuesta es $x = 3$. Si mi ecuación es correcta, entonces lo que yo he encontrado es el mínimo relativo de la función. Sin embargo, debemos encontrar el mínimo absoluto, yo.e, el mínimo de la función entre el intervalo [a, b] (en este caso $a=0$ e $b=3$). Por lo tanto, debido a $b < 2\sqrt{3}$, la solución en el intervalo [0, 3] es $x = 3$. Este punto fue hecho por @Allawonder y @Martund
Si mi razonamiento es incorrecto, entonces me encantaría comentarios.
