¿Es Lorentz transformar un tensor?

Question

Estoy confundido si la transformación de Lorentz es un tensor o no, ya que es una transformación lineal. Si es así, ¿cómo puedo verificar eso?

Answer 1

Cuando decimos que algo es un tensor, estamos diciendo que es un operador lineal, cuyos componentes tienen ciertas propiedades de transformación bajo un cambio de coordenadas. El supuesto subyacente es que esta es una cantidad que es una función del estado de un sistema. Usted puede caminar hasta el sistema, elija su sistema de coordenadas, y la medida de un determinado componente del tensor en ese sistema de coordenadas.

La transformación de Lorentz no es una función del estado del sistema, por lo que no tiene sentido hablar acerca de la medición de sus componentes. La transformación de Lorentz es independiente del estado del sistema, sino que depende de otros datos: los datos que definen los dos marcos de referencia que esta transformación de Lorentz opera entre.

Así que la idea general es que tenemos (A) tensor de características observables, y (B) las transformaciones que convierten los componentes de un tensor de un sistema de coordenadas a otro. La transformación de Lorentz está en la categoría B, no A.

Otra forma de ver esto es que nunca tiene sentido escribir la transformación de Lorentz en resumen índice de forma. Cuando se aplica una transformación de Lorentz entre las coordenadas $x^\mu$ y coordina $x^{\mu'}$ , en concreto el índice de notación, tenemos $T^\mu=\Lambda^\mu{}_{\mu'}T^{\mu'}$. Si intenta escribir esa relación en resumen índice de notación, no puede, porque la $\mu$ e $\mu'$ hay explícitamente el nombre de los dos sistemas de coordenadas.

Answer 2

Yo sé lo que estás pensando: Una matriz de Lorentz $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ ve bastante parecida a la de un tensor (1,1) $T^{\mu}{}_{\nu}$, ¿verdad? No, mal. Quizás es más fácil de explicar con una analogía: Si usted está familiarizado con la categoría de teoría y sabemos que una categoría se compone de objetos y flechas, y luego un tensor es como una categoría, un marco de referencia es como un objeto, mientras que una transformación de Lorentz es como una flecha, que transforma los objetos. En otras palabras, usted está comparando manzanas con naranjas.

Answer 3

Un tensor se puede definir y escribir en cualquier marco de referencia dado. La transformación de Lorentz es una declaración acerca de cómo cambian las cosas cuando cambias de un marco a otro.

Answer 4

Coordinar transforma a partir de los primeros principios

Una transformación de coordenadas de mapas de un tensor de espacio- $\mathcal T_1$ a otro tensor de espacio- $\mathcal T_2$. Todos los $[m, n]$-tensores en el espacio de obtener asignan a $[m, n]$-tensores en el otro, por el diferente (pero relacionadas) lineal se transforma, de tal manera que todos los interiores de los productos que resultan en valores escalares de producir el mismo escalar. Por ejemplo, dado un covector $u$ ( $[0,1]$-tensor, una función lineal de asignación de vectores escalares) y un vector $v$ ( $[1, 0]$-tensor) tenemos que las transformaciones de coordenadas en cada uno de estos espacios de $C_{1,0}[\bullet]$ e $C_{0,1}[\bullet]$ están relacionados por la expresión que,$$C_{0, 1}[u](C_{1,0}[v]) = u(v),$$ desde la última es un escalar.

Si insertamos un montón de vectores de la base $\hat e_i$ en esta imagen podemos describir cualquier $v$ como una suma $v = \sum_i v^i \hat e_i$ y podemos inventar base covectors $\underline e^j$ tales que $$\underline e^j(\hat e_i) = \{1 \text{ if } i = j \text{ else } 0\}.$$We can then characterize a linear coordinate transform by what it does to these basis vectors and covectors, $C_{1,0}[v] = \sum_i v^i~C_{1,0}[\hat e_i]$. Tenga en cuenta que los componentes no realmente "transformar" aquí, lo que se transforma es la base de vectores.

Donde obtenemos una matriz es cuando tenemos alguna otra base para el segundo espacio-¿quién dice que tenemos que usar el "natural" base inducida por $C$ que $\hat a_i = C_{1,0}[\hat e_i]$? Así que si tenemos este otro, entonces tenemos que $$C_{1,0}[\hat e_i] = \sum_{k'} C^{~k'}_i~\hat a_{k'},$$ where we use primes to mentally keep the two different spaces separate in our heads. Now we find that we can interpret the coefficients as changing via $$C_{1,0}[v] = \sum_{k'} v^{k'}\hat a_{k'},\\~~~\text{ where }~~~v^{k'} = \sum_i C_i^{~k'}~v^i.$$

Donde es fácil que se tropezó

Ahora en el primer espacio de $\mathcal T_1$ sí, no es un $[1,1]$-tensor de que puede estar formado por los coeficientes, simplemente diciendo que "así los cebados los índices son sólo números y la transformación de la matriz es sólo un montón de números, por lo que voy a escribir algunos tensor, $$c(v) = \sum_{i,k'} \hat e_{k'}~ C_i^{~k'}~\underline e^i(v).$$Este es un muy general, así que voy a hacer en voz muy alta: En general para cualquier cosa que nos dicen que es "no es un tensor"-transformaciones de Lorentz, símbolos de Christoffel-es posible tomar sus componentes y montar un tensor! Pero lo que queremos decir es que es ilusorio de un tensor, se ve como un tensor, pero no interactuar de la manera que usted esperaría de un tensor para interactuar. Por ejemplo cuando se trata de lidiar con los espacios curvos y de empezar a hablar acerca de los símbolos de Christoffel, usted puede montar un tensor de los componentes que el símbolo de Christoffel le da. Pero que el tensor de la voluntad de no dar el símbolo de Christoffel después de una transformación de coordenadas!

Algo similar ocurre aquí. Este tensor es una composición de parte de su transformada de coordenadas $C_{1,0}$ pasando de $\mathcal T_1 \to \mathcal T_2$ con algunas otras coordenadas transformar $D: \mathcal T_2\to \mathcal T_1$ que se asigna a$\hat a_{k'} \to \hat e_{k'}$. Es por eso que tiene esta extraña confusión de la cebada y sin imprimación índices que se $\hat e_{k'}$, porque ha "colapsado" ambos espacios junto con esta segunda coordenada de transformación que transforma la $\mathcal T_2$ vectores de la base en la $\mathcal T_1$ vectores de la base.

La ilusión es revelado por el siguiente fallo-a-interactuar-la-manera-que-esperar: de hecho, nos dijo que la $C$ no es sólo $C_{1,0}$ pero es una familia de funciones de $C_{m,n}$ asignación de $[m,n]$-tensores en $\mathcal T_1$ a $[m, n]$-tensores en $\mathcal T_2$. Derivando de que existe esta $c(v)$ tensor para $C_{1,0}$ usted podría haber esperado que esta asignación de vectores es todo lo que hay, pero no: en realidad, incluso en esta segunda coordenada transformar $D$ tiene modelo de coordinar transformar $C$ como una de la familia de los tensores, uno diferente de cada una de las $[m, n]$-tensor de espacio en sí mismo. Cada uno de estos es su propia $[m+n,m+n]$-tensor, y son, sin duda, a esta $[1, 1]$-tensor $c(v)$, pero incluso para la constante de $m+n$ que no son el mismo. Así que hay una diferente $[1, 1]$-tensor de la asignación de covectors a covectors, no es $\tilde c(u) = v \mapsto u\big(c(v)\big)$ la manera en que un tensor normalmente transformar un covector.

De hecho, la resultante de las matemáticas no es más interesante que simplemente mantener los dos espacios separados, en primer lugar, y en base a esto que acabamos de hacer lo que es perezoso y decir "no es un tensor:" sí, se puede imaginar como el estudio de una familia de los tensores en el espacio, pero que sólo le hace la vida mucho más difícil de decir "la onu-cebado de los índices de pertenecer a un espacio y el cebado de los índices de pertenecer al espacio dos."