Límites de una función de densidad

Question

Si existe el límite de una función de densidad, ¿se deduce que es cero? Para decirlo formalmente

$$\exists a \in \mathbb R \lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = a \Rightarrow a= 0.$$

Answer 1

Sí.

Supongamos que el límite es cualquier otra cosa, entonces $\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = a \neq 0$ . Entonces, por la definición de límite, existe un $N$ de modo que para todos $t > N$ , $| f(t) - a | < \frac{a}{2}$ . En particular, $f(t) > \frac{a}{2}$ en este reino.

Pero entonces:

$$ \int_{\mathbf{R}} f(t) dt \geq \int_{N}^{\infty} f(t) dt \geq \int_{N}^{\infty} \frac{a}{2} dt = \infty $$

Así que $f$ no puede ser una función de densidad.