encontrar el máximo del valor $\left(\sum_{i=1}^{n}ia_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{i}\right)^2$

Question

Dejar $a_{i}\ge 0$ y tal $$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1$$ encontrar el máximo del valor $$\left(\sum_{i=1}^{n}ia_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}}{i}\right)^2$$ Trato de usar A partir de la desigualdad de Pólya-Szegö, tenemos para $0 < m_1 \leqslant u_k \leqslant M_1$ y $0 < m_2 \leqslant v_k \leqslant M_2$ , $$\left(\sum u_k^2 \right) \left( \sum v_k^2 \right) \leqslant \frac14 \left( \sqrt{\frac{M_1 M_2}{m_1m_2}} + \sqrt{\frac{m_1 m_2}{M_1 M_2}} \right)^2 \left( \sum u_k v_k\right)^2$$

Pero no puedo. Gracias.

Answer 1

Aquí está la misma respuesta pero con un enfoque diferente. Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria de valor entero tal que $$ \Bbb P(X=i)=a_i\ \ \ \text{ for all }\ i=1,2,\ldots,n. $$ Tenemos que $$ \Bbb E\left[\frac1 X\right]=\sum_{i=1}^n\frac{a_i}i,\quad \Bbb E\left[X\right]=\sum_{i=1}^n ia_i, $$ por lo que necesitamos maximizar $\Bbb E\left[\frac1 X\right]^2 \Bbb E\left[X\right]$ . Obsérvese que por la desigualdad AM-GM $$ 3\sqrt[3]{\Bbb E\left[\frac{n} X\right] \Bbb E\left[\frac {n} X\right] E\left[2X\right]}\le \Bbb E\left[\frac{n} X\right] +\Bbb E\left[\frac{n} X\right]+\Bbb E\left[2X\right]= \Bbb 2\Bbb E\left[X+\frac n X\right]. $$ Desde $1\le X\le n$ tenemos que $$ 0\le \frac{(X-1)(n-X)}X\implies X+\frac n X\le n+1, $$ y la igualdad se mantiene cuando $\Bbb P(X\in \{1,n\})=1$ . Esto da $$ 3\sqrt[3]{2n^2\Bbb E\left[\frac{1} X\right]^2E\left[X\right]}\le 2(n+1), $$ lo que equivale a $$ \Bbb E\left[\frac{1} X\right]^2\Bbb E\left[X\right]\le \frac1{2n^2}\left(\frac{2(n+1)}3\right)^3=\frac{4(n+1)^3}{27n^2}. $$ La igualdad se mantiene cuando $$ \Bbb E\left[\frac{n} X\right]=2\Bbb E\left[X\right],\quad \Bbb P(X\in \{1,n\})=1, $$ es decir, $a_1=\Bbb P(X=1)=\frac{2n-1}{3(n-1)}$ y $a_n=\Bbb P(X=n)=\frac{n-2}{3(n-1)}$ (con otros $a_i=0$ y $ n\ge 2$ .)

Si $n=1$ , $\Bbb E\left[\frac{1} X\right]^2\Bbb E\left[X\right]=1$ se mantiene trivialmente.

Nota: De hecho, $X$ no tiene que ser de valor entero; $\Bbb P(1\le X\le n)$ proporciona el mismo límite superior. Así, por ejemplo, tenemos que $$ \left(\int_1^n \frac{f(x)\ dx}x\right)^2\left(\int_1^n xf(x)\ dx\right)\le\frac{4(n+1)^3}{27n^2} $$ para todos $f\ge 0$ con $\int_1^n f(x)\ dx=1$ , $n\ge 2$ .

Answer 2

Dejemos que $f(k_1,\cdots,k_m)$ para números enteros positivos distintos $k_1<k_2<\cdots<k_m$ sea el máximo valor posible de

$$\left(\sum_{i=1}^m k_ia_i\right)\left(\sum_{i=1}^m \frac{a_i}{k_i}\right)^2$$

en todos los reales no negativos $a_1,\cdots,a_m$ con la suma $1$ .

Para $m=1$ el valor es simplemente $1$ . Para $m\geq 2$ reclamamos

$$f(k_1,\cdots,k_m)=\max\left(\frac{2(k_1+k_m)^2}{9k_1k_m},1\right).$$

Lo demostramos por inducción en $m$ . Utilizar los multiplicadores de Lagrange. Dejando que $S_1=\sum_{i=1}^m k_ia_i$ y $S_2=\sum_{i=1}^m \frac{a_i}{k_i}$ da que la derivada con respecto a $a_i$ es

$$\frac{2S_1}{k_i}+S_2k_i;$$

el vector de la derivada de nuestra condición es el vector todo-uno, por lo que requerimos que

$$\frac{2S_1}{k_i}+S_2k_i=\lambda$$

se fija en todos los $k_i$ . Sin embargo,

$$\frac{2S_1}{k_i}+S_2k_i = \frac{2S_1}{k_j}+S_2k_j \implies S_2(k_i-k_j) = S_1\left(\frac{k_i-k_j}{k_ik_j}\right) \implies 2S_1=k_ik_jS_2,$$

que no puede ocurrir para todos los pares $(i,j)$ si $m\geq 3$ . Así, una variable es $0$ y por lo tanto estamos reducidos al caso de $k_1,\cdots,k_m$ con un elemento eliminado. Si $m=2$ el sistema se amplía a

$$0=a_1(2k_1-k_2)+a_2(2k_2-k_1),$$

que, además de la condición de normalización $a_1+a_2=1$ , tiene solución

$$a_1=\frac{2k_2-k_1}{3(k_2-k_1)},\ \ a_2=\frac{k_2-2k_1}{3(k_2-k_1)}.$$

Si $k_2\geq 2k_1$ este es un punto válido y da el valor deseado de $\frac{2(k_1+k_2)^2}{9k_1k_2}$ ; en caso contrario, uno $a_i$ debe ser $0$ que da el valor de $1$ . Por lo tanto, el caso base está demostrado. Para el paso inductivo, tenemos que, según nuestra hipótesis inductiva, como una $a_i$ debe ser $0$ Esto es $\frac{2(k_1+k_m)^2}{9k_1k_m}$ a menos que hayamos optado por eliminar $k_1$ o $k_m$ , en cuyo caso es $\frac{2(k_1+k_{m-1})^2}{9k_1k_{m-1}}$ , $\frac{2(k_2+k_m)^2}{9k_2k_m}$ o $1$ . La observación de que $f(x)=x+\frac{1}{x}$ está aumentando en $x\geq 1$ termina la prueba.

Así, el valor máximo posible es

$$\frac{2(n+1)^2}{9n},$$

en $n\geq 2$ y $1$ de lo contrario, se llega a $a_1=\frac{2n-1}{3(n-1)}, a_2=\cdots=a_{n-1}=0,$ $a_n=\frac{n-2}{3(n-1)}.$

Answer 3

Solución alternativa

Problema : Dejemos que $a_i\ge 0, \forall i$ con $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$ . Demostrar que el máximo de $$\left(\sum_{i=1}^n i a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i}\right)^2$$ es $\frac{4(n+1)^3}{27n^2}$ .

Podemos utilizar el enfoque de mi respuesta a esta ecuación: Un límite superior del producto de dos productos internos

Consideremos el problema de optimización $$\max_{a_i\ge 0, \forall i; \ \sum_{i=1}^n a_i = 1} \left(\sum_{i=1}^n i a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{i}\right)^2.$$ Dejemos que $(a_1^\ast, a_2^\ast, \cdots, a_n^\ast)$ sea un maximizador global.

Afirmamos que si $1 < k < n$ entonces $a_k^\ast = 0$ . De hecho, si $a_k^\ast > 0$ , dejemos que $$a_1' = a_1^\ast + (1 - y) a_k^\ast, \quad a_k' = 0, \quad a_n' = a_n^\ast + y a_k^\ast$$ donde $\frac{k-1}{n-1} < y < \frac{n}{k}\cdot \frac{k-1}{n-1}$ . Tenemos $$a_1' + a_k' + a_n' = a_1^\ast + a_k^\ast + a_n^\ast,$$ y \begin{align} &a_1' + ka_k' + na_n' - (a_1^\ast + ka_k^\ast + na_n^\ast)\\ =\ & (n-1)\left(y - \frac{k-1}{n-1}\right) a_k^\ast\\ >\ & 0, \end{align} y \begin{align} &a_1' + \frac{a_k'}{k} + \frac{a_n'}{n} - \left(a_1^\ast + \frac{a_k^\ast}{k} + \frac{a_n^\ast}{n}\right)\\ =\ & \frac{n-1}{n}\left(\frac{n}{k}\cdot \frac{k-1}{n-1} - y\right)a_k^\ast\\ >\ & 0. \end{align} Sin embargo, esto contradice la optimización de $(a_1^\ast, a_2^\ast, \cdots, a_n^\ast)$ .

Ahora bien, como $a_2^\ast = a_3^\ast = \cdots = a_{n-1}^\ast = 0$ tenemos \begin{align} &\left(\sum_{i=1}^n i a_i^\ast\right)\left(\sum_{i=1}^n \frac{a_i^\ast}{i}\right)^2\\ =\ & (a_1^\ast + n a_n^\ast)\left(a_1^\ast + \frac{a_n^\ast}{n}\right)^2\\ =\ & (1 - a_n^\ast + na_n^\ast)\left(1 - a_n^\ast + \frac{a_n^\ast}{n}\right)^2\\ =\ & \frac{1}{2n^2}[2 + 2(n-1)a_n^\ast][n - (n-1)a_n^\ast]^2\\ \le\ & \frac{1}{2n^2} \left(\frac{2 + 2(n-1)a_n^\ast + n - (n-1)a_n^\ast + n - (n-1)a_n^\ast}{3}\right)^3\\ =\ & \frac{4(n+1)^3}{27n^2} \end{align} con igualdad si $a_n^\ast = \frac{n-2}{3(n-1)}$ donde hemos utilizado la desigualdad AM-GM.

Así, el máximo deseado es $\frac{4(n+1)^3}{27n^2}$ en $a_1 = \frac{2n-1}{3(n-1)}, a_2 = a_3 = \cdots = a_{n-1} = 0, a_n = \frac{n-2}{3(n-1)}$ .