Formulación de las reglas de Bioche en notación familiar.

Question

Yo estaba tratando de encontrar un problema interesante para mis alumnos de física que involucra una trivial de flujo integral, y se me ocurrió que ha producido la integral

$$\int \frac{dx}{1+\beta\cos x}$$

($\beta^2<1$). He recurrido al sistema de álgebra computacional Maxima con el fin de integrarla, y que trabajaba, pero yo quería entender lo que le había hecho. Jugando y buscando en la web de manifiesto que este es un ejemplo de que, naturalmente, puede ser abordado mediante Brioche reglas, pero la única descripción de aquellos a los que pude encontrar fue un francés el idioma del artículo de la wikipedia. Me estoy dando cuenta que el artículo difícil de entender, creo que no tanto por mi débil francés como lo que parece ser algún arcaico notación o anticuadas formas de pensar acerca de lo que hoy llamaríamos una función. El WP artículo parece decir este (mi intento de traducción):

En el siguiente $f(t)$ es una expresión racional en $\sin t$ e $\cos t$. A continuación, con el fin de calcular el $\int f(t)dt$, una de las formas el integrando $\omega(t)=f(t)dt$. Entonces:

1. Si $\omega(-t)=\omega(t)$, un buen cambio de variables es $u=\cos t$.

2. Si $\omega(\pi-t)=\omega(t)$, un buen cambio de variables es $u=\sin t$.

3. Si $\omega(\pi+t)=\omega(t)$, un buen cambio de variables es $u=\tan t$.

4. Si dos de las anteriores relaciones, tanto espera, un buen cambio de variables es $u=\cos 2t$.

5. En todos los demás casos, el uso de $u=\tan(t/2)$.

Estoy teniendo un tiempo difícil la interpretación de la distinción entre $f$ e $\omega$. Presumiblemente, la regla 1 es equivalente a decir que $f$ es incluso. En 2, es la idea de hacer la sustitución de $t\rightarrow \pi-t$, lo que implica también la $dt\rightarrow-dt$? Este parece equivalente a $f(\pi-t)=-f(t)$...?

Hay una razón por la que no acaba de expresar las reglas en términos de $f$?

Mi fe en mi propia traducción/comprensión no es reforzado cuando trato de aplicar las reglas a mi propio ejemplo. Parece que la 1 se mantiene, debido a que $f$ es incluso. A continuación, la sustitución de $u=\cos x$ transforma mis integral en

$$-\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}(1+\beta u)},$$

pero esta realidad no parece mejor. Parece que la mayoría de sustitución general $u=\tan(x/2)$ es requerido.

Lo que está mal con mi análisis/traducción/comprensión?

Answer 1

De hecho sí, la $dt$ es importante en la Brioche reglas.

• 1. significa $w(-t)=f(-t)d(-t)=w(t)=f(t)dt\\\implies f(-t)=-f(t)$

Luego, con el cambio de $u=\cos x$

$f(x)dx=g(\cos x)(−\sin x dx)=g(u)du$

• 2. significa $w(\pi-t)=f(\pi-t)d(\pi-t)=w(t)=f(t)dt\\\implies f(\pi-t)=-f(t)$

Luego, con el cambio de $u=\sin x$

$f(x)dx=g(\sin x)(\cos x dx)=g(u)du$

• 3. significa $w(\pi+t)=f(\pi+t)d(\pi+t)=w(t)=f(t)dt\\\implies f(\pi+t)=f(t)$

Luego, con el cambio de $u=\tan x$

$f(x)dx=g(\tan x)(dx/\cos^2 x)=g(u)du$

Se puede ver que el realizar el cambio de $t\mapsto -t,\ t\mapsto \pi-t,\ t\mapsto \pi+t$ en la expresión en amarillo ve $g$ e las $dx$ grupo entre paréntesis sin cambios, la justificación de esta sustitución.

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Así que 1. cuando el integrando se comporta como $\sin$ hacer una sustitución en $\cos$

Por lo que el 2. cuando el integrando se comporta como $\cos$ hacer una sustitución en $\sin$

3. cuando el integrando se comporta como $\tan$ hacer una sustitución en $\tan$

En su caso, ninguno está trabajando porque usted tiene cualquiera de las $\dfrac{-1}{1+\beta}$ o $\dfrac{1}{1-\beta}$ por lo tanto usted necesita para volver a caer a un cambio en $\tan(\theta/2)$.

Answer 2

Cubre el mismo terreno que @zwim mientras que la adición de un poco más de información, para las integrales de la forma $$\int f(\sin x, \cos x) \, dx$$ donde $f$ es una función racional de seno y coseno, me gusta referirme a $\omega (x) = f(\sin x, \cos x) \, dx$ como una forma diferenciada y es este diferencial de la forma que debe permanecer invariante bajo una de las tres sustituciones: $x \mapsto -x, x \mapsto \pi - x, x \mapsto \pi + x$ si las reglas de Brioche se aplican.

Para la sustitución donde el differrntial forma es invariante uno de los conjuntos de $t = \phi (x)$, donde $\phi (x)$ es la función de $\cos x$, $\sin x$o $\tan x$ que también permanece invariante bajo la misma sustitución.

Que es:

1. Set $t = \cos x$ cuando $x \mapsto -x$ deja el diferencial de forma invariable desde $\cos (-x) = \cos x$.

2. Set $t = \sin x$ cuando $x \mapsto \pi -x$ deja el diferencial de forma invariable desde $\sin (\pi -x) = \sin x$.

3. Set $t = \tan x$ cuando $x \mapsto \pi + x$ deja el diferencial de forma invariable desde $\tan (\pi + x) = \tan x$.

En el caso de que más de una de las primeras sustituciones deja el diferencial de forma invariable, el diferencial de la forma será invariable en las tres sustituciones. En este caso cualquiera de las sustituciones $t = \cos x$, $t = \sin x$o $t = \tan x$ puede ser utilizado, pero por lo general es más eficiente:

4. Set $t = \cos 2x$ ya que en los tres casos $x \mapsto -x, \pi - x$, e $\pi + x$ deje $\cos 2x$ sin cambios.

Por último, si ninguno de los tres iniciales sustituciones de dejar el diferencial de forma invariable, a continuación, como un último recurso:

5. Set $t = \tan \frac{x}{2}$.

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Comentario

Al menos en el mundo de habla inglesa, el Brioche reglas no parecen ser ampliamente conocido. Supongo que una posible razón para esto es una integral que consta de una función racional de seno y coseno, siempre se puede encontrar el uso de la racionalización de la sustitución de $t = \tan \frac{x}{2}$. Sin embargo, cuando se utiliza, a menudo termina con un integrante que requieren engorroso parcial fracción de descomposición que pueden evitarse mediante la aplicación de las reglas de Brioche en los casos en donde trabaja.

Dos fuentes escritas (en inglés) que se refieren a la Brioche del reglamento puede consultarse en:

1. Manual de Integración por Zwillinger en la página 108 (aunque el nombre de "Brioche reglas" no se usa aquí).

2. Cómo Integrar: Una guía práctica para la búsqueda de primaria integrales por Stewart en las páginas 190$-$197.