¿Por qué podemos elegir la divergencia del potencial vectorial?

Question

Soy consciente de que el potencial vectorial y escalar en E&M se puede modificar mediante una función $\lambda(t)$ de la siguiente manera:

$$\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\lambda,\;\; \textrm{ and } \;\;\Phi' = \Phi - \frac{\partial\lambda}{\partial t}.$$

Sin embargo, estoy confundido cuando Griffiths afirma que podemos simplemente elegir $\nabla\cdot\mathbf{A} = 0$ como en el indicador de Coulomb, o $\nabla\cdot\mathbf{A} = -\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial \Phi}{\partial t}$ como en el calibre de Lorenz. ¿Cómo es que sabemos que tales elecciones para $\nabla\cdot\mathbf{A}$ ¿son válidos? ¿Qué podemos elegir para $\nabla\cdot\mathbf{A}$ ¿y por qué?

Editar: Esta pregunta ¿Fijamos la divergencia del potencial vectorial $A$ porque $\nabla \cdot \nabla \psi \ne 0$ ? no explica por qué siempre hay una solución para $\nabla^2 \lambda = -\nabla \cdot \mathbf{A}$ .

Answer 1

Si $\phi$ es el potencial eléctrico correspondiente a un campo eléctrico ${\bf E}$ entonces $\nabla^2 \phi = -{\bf \nabla} \cdot {\bf E} = -\rho/\epsilon_0$ . Sabemos que esto se puede invertir: dada cualquier densidad de carga $\rho$ podemos encontrar el correspondiente $\phi$ utilizando las fórmulas habituales.

Se pregunta por qué siempre hay una solución para $\nabla^2 \lambda = -{\bf \nabla} \cdot {\bf A}$ para cualquier ${\bf A}$ . Por analogía con la ecuación anterior, podemos definir $\chi := {\bf \nabla} \cdot {\bf A}$ . Entonces, no importa la forma $\chi$ toma, podemos resolver $\nabla^2 \lambda = -\chi$ integrando el Coulomb habitual $1/r$ tiempos potenciales $\chi$ como si $\chi$ eran una densidad de carga.