¿Cuántas clases de equivalencia de cuadrados hay?

Question

Supongamos que tenemos un $3×3$ plaza donde $3$ de las células son etiquetados $a$, $b$, $c$ y el resto está en blanco. Dos de estas plazas son considerados "equivalentes" si un cuadrado puede ser obtenida de otra plaza por 1) la rotación de 90, 180 y 270 grados, 2) la reflexión (a través de la horizontal, vertical, o diagonal eje).

Necesito encontrar clases de equivalencia de los cuadrados (tal vez los grupos o patrones?).

Mi intento es: 1) poner el $a$, $b$ e $c$ en la 1 ª fila: $A=\left(% \begin{array}{ccc} a & b & c \\ .. & .. & .. \\ .. & .. & .. \\ \end{array} \right)$, then we can rotate the square $$ de 90, 180 y 270 grados: $A_{90}=\left(% \begin{array}{ccc} .. & .. & a \\ .. & .. & b\\ .. & .. & c \\ \end{array} \right)$, $A_{180}=\left(% \begin{array}{ccc} .. & .. & .. \\ .. & .. & ..\\ c & b & a \\ \end{array} \right)$, $A_{270}=\left(% \begin{array}{ccc} c & .. & .. \\ b & .. & ..\\ a & .. & .. \\ \end{array}. \right)$.

Plaza cuatro $A$, $A_{90}$, $A_{180}$ e $A_{270}$ son equvalent. Esta es la primera clase de equivalencia.

2) poner el $a$, $b$ e $c$ en la diagonal principal: $$A=\left(% \begin{array}{ccc} a & .. & .. \\ .. & b & .. \\ .. & .. & c \\ \end{array}% \right) $$ y girar en 90 grados $$A_{90}=\left(% \begin{array}{ccc} .. & .. & a \\ .. & b & .. \\ c & .. & .. \\ \end{array}% \right) $$ Dos plaza de $A$ e $A_{90}$ son equvalent. Esta es la segunda clase de equivalencia.

Edición 2. Aquí he encontrado el 16 de patrones.

Pregunta. ¿Cuántas clases de equivalencia de tres elementos en un cuadrado hay?

Answer 1

No está claro si se desea contar

1. Las ubicaciones o los

2. Etiquetados.

hasta simetría. Las dos redes a continuación tienen la misma colocación, pero diferentes etiquetados. El número de etiquetados sin simetría es $9\times 8\times 7$. El número de colocaciones es $(9\times 8\times 7)/(3!)$.

a b c     a c b
. . .     . . .
. . .     . . .

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Ubicaciones

Hay $8$ simetrías de matriz:

• La identidad de la simetría.

• Tres rotaciones, por $90,180$ e $270$ grados.

• Cuatro reflexiones, a través de la horizontal, vertical, o diagonal eje.

Con el fin de contar el número de colocaciones de hasta simetría, podemos añadir, para cada simetría, el número de plazas que invariantes bajo que la simetría, la división por $8$.

• Cada una de las $\binom{9}3$ colocaciones es invariante bajo la identidad.

• No hay ubicaciones con tres números que son invariantes bajo $90^\circ$ rotación.

• Hay $4 $ colocaciones que son invariantes bajo $180^\circ$ rotación. Estas son las ubicaciones que tienen " tres en una fila en el centro.

• Para la horizontal reflexión, hay $10$ colocaciones con que la simetría. Hay dos casos; dos de los números son simétricas respecto de un eje vertical, que va en spots A, B o C, o todos ellos están en el eje vertical. En el primer caso, no se $3$ opciones para A, B o C, ,y tres alternativas para el último número que se va. El segundo caso tiene una opción, para $3\cdot 3+1=10$ total.

A 1 A
B 2 B
C 3 C

• El mismo resultado es cierto para los otros tres reflexiones.

Por lo tanto, el número de puestos, hasta que la simetría es

$$ \frac18\left(\binom{9}3+4+4\cdot 10\right)=\frac18(84+44)=16 $$

Labelings

I leave the details to the reader, but the answer is

$$ \frac18(9\cdot 8\cdot 7+3\cdot 0+4\cdot (3\cdot 2\cdot 1))=66 $$