Si$f \in C[a,b]$ tiene$\int_{a}^{b}f(x)x^{n}dx=0$ para todos$n\in \mathbb{N}$, entonces$f=0$.

Question

Deje $f \in C[a,b]$con $$\int_{a}^{b}f(x)x^{n}dx=0$$ para todos los $n\in \mathbb{N}$. Demostrar $f=0$.

Tengo la intuición para probar esto con la inducción de más de $n \in \mathbb{N}$, $n=0$, He a$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$. Entonces, ¿cómo tengo que $f=0$? También, cómo voy a terminar la prueba? Cualquier ayuda será apreciada. Gracias

Answer 1

Utilice el hecho de que los polinomios son densos en $C[a,b]$ con el supremum norma (ver la Piedra–teorema de Weierstrass).

Debido a la linealidad de la integración, su supuesto implica que la

$$\int_a^b f(x)P(x) \mathrm{d}x = 0 \hspace{10px}(\star)$$

para cualquier polinomio $P(x)$.

Por la Piedra-teorema de Weierstrass, usted puede encontrar una secuencia de polinomios $\{P_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $\lim_{n\to\infty}P_n(x) = f(x)$ uniformemente. Dado que la convergencia es uniforme, podemos límite de cambio y de integración de los operadores. Por lo tanto, tenemos

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\int_a^b f(x)P_n(x)\mathrm{d}x}_{\text{this is zero by }(\star)} = \int_a^bf(x)\lim_{n\to\infty}P_n(x)\mathrm{d}x= \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x = 0$$

Desde $f^2(x) \geq 0$, llegamos a la conclusión de que $f=0$ a $[a,b]$.

Answer 2

Basado en el contexto establecido en el texto de la pregunta, supongo que podemos tomar

$0 \in \Bbb N; \tag 1$

También quiero aprovechar que

$a \le b. \tag 2$

Tenemos las siguientes

Lema: Supongamos

$g_n \in C[a, b] \tag 3$

es una secuencia tal que

$g_n \to f \; \text{as} \; n \to \infty \tag 4$

entonces

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b fg_n \; dx = \int_a^b f^2 \; dx. \tag 5$

La prueba del Lema:

Observar que

$\displaystyle \int_a^b f^2 \; dx - \int_a^b f g_n \; dx = \int_a^b (f^2 - fg_n) \; dx = \int_a^b f(f - g_n) \; dx; \tag 7$

así

$\left \vert \displaystyle \int_a^b f^2 \; dx - \int_a^b f g_n \; dx \right \vert = \left \vert \displaystyle \int_a^b f(f - g_n) \; dx \right \vert$ $\le \displaystyle \int_a^b \vert f (f - g_n) \vert \; dx = \displaystyle \int_a^b \vert f \vert \vert f - g_n \vert \; dx \le \int_a^b \vert f \vert \Vert f - g_n \Vert \; dx = \Vert f - g_n \Vert \int_a^b \vert f \vert \; dx; \tag 8$

pasando al límite,

$\lim_{n \to \infty} \left \vert \displaystyle \int_a^b f^2 \; dx - \int_a^b f g_n \; dx \right \vert \le \lim_{n \to \infty} \Vert f - g_n \Vert \displaystyle \int_a^b \vert f \vert \; dx = 0; \tag 9$

por lo tanto (5), que se une. Final: la Prueba del Lema.

Con este lema en la mano podemos proceder con la observación de que la función

$x:[a, b] \to \Bbb R \tag{10}$

separa los puntos en $[a, b]$; esto es, para cualquier

$c_1, c_2 \in [a, b], \; c_1 \ne c_2, \tag{11}$

tenemos

$x(c_1) = c_1 \ne c_2 = x(c_2); \tag{12}$

a continuación, se deduce de la Piedra-teorema de Weierstrassque la sub-álgebra de $C[a, b]$ generado por $x$ y la constante de funciones es densa; ya que este sub-álgebra es el conjunto de bienes polinomios en $x$, se deduce que existe una secuencia de polinomios $p_n(x)$ tales que

$p_n(x) \to f(x) \; \text{in} \; C[a, b]; \tag{13}$

es decir,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \Vert p_n(x) - f(x) \Vert = 0, \tag{14}$

y a partir de la hipótesis de que

$\displaystyle \int_a^b x^m f(x) \; dx = 0, \; \forall m \in \Bbb N, \tag{15}$

la linealidad de la integral nos permite concluir que

$\displaystyle \int_a^b p_n(x) f(x) \; dx = 0, \forall n \in \Bbb N; \tag{16}$

ahora aplicando el lema encontramos

$\left \vert \displaystyle \int_a^b f^2(x) \; dx \right \vert = \lim_{n \to \infty} \left \vert \displaystyle \int_a^b f^2 \; dx - \underbrace{\int_a^b p_n f \; dx}_{0} \right \vert \le \lim_{n \to \infty} \Vert f - p_n \Vert \displaystyle \int_a^b \vert f \vert \; dx = 0, \tag{17}$

que las fuerzas de

$\displaystyle \int_a^b f^2(x) \; dx = 0; \tag{18}$

ahora desde $f^2(x)$ es un valor no negativo continua en función de ello se sigue que

$f(x) = 0, \forall x \in [a, b]. \tag{19}$

$OE\Delta$.