Factor $x^5-x+15$

Question

Es posible que el factor $x^5-x+15$ . WolframAlpha da la respuesta de: $$(x^2+x+3)(x^3-x^2-2x+5)$$

Según el artículo de la wikipedia sobre las funciones quínticas, la forma general $x^5-x+a$ es factorizable sólo cuando $a=±15$ , $±22440$ o $±2759640$ .

Pregunta: ¿Cómo se puede factorizar una expresión de este tipo? A mí me parece casi imposible a mano.

Pregunta extra: ¿Por qué esos valores específicos de $a$ ¿hacer que la expresión sea factorizable? Si no hay una respuesta sencilla, ¿hay algún artículo o lectura adicional al respecto?

Answer 1

Se puede tener en cuenta $$f(x) := x^5 - x \pm 15$$ manualmente (sobre $\Bbb Z$ ) sin demasiadas complicaciones.

En primer lugar, si $f$ tiene un factor lineal, tiene una raíz racional y (porque $f$ es mónico) cualquier raíz racional debe ser un número entero. Pero $f(0) \equiv f(1) \equiv 1 \pmod 2$ Así que $f$ no tiene raíz en el módulo $2$ y por lo tanto no hay raíz entera y por lo tanto no hay factor lineal. (Como alternativa, podemos demostrarlo con el Teorema de la Raíz Racional; véase la parte inferior de esta respuesta).

Así, si $f$ debe factorizar como un producto de un cúbico y un cuadrático, es decir, (donde denotamos $\Lambda = \pm 15$ ) $$x^5 - x + \Lambda = (x^3 + A x^2 + B x + C) (x^2 + D x + E)$$ para algunos enteros $A, B, C, D, E$ . Si se distribuye el lado derecho y se comparan los coeficientes, se obtienen varias condiciones cuadráticas (a lo sumo) sobre esos números enteros: \begin {align} A + D &= 0 \\ A D + B + E &= 0 \\ A E + B D + C &= 0 \\ B E + C D &= - 1 \\ C E &= \Lambda \\ \end {align} Podemos reducir rápidamente este sistema: La primera ecuación da $D = -A$ por lo que la segunda ecuación da $E = A^2 - B$ y entonces la tercera ecuación se convierte en $C = -A^3 + 2 A B$ . La sustitución deja el sistema \begin {align*} A^4 - A^2 B - B^2 &= -1 \\ A (A^2 - 2 B) (A^2 - B) &= \Lambda . \end {align*} Desde $A, A^2 - 2 B, A^2 - B$ son todos números enteros y la factorización prima de $|\Lambda| = 15$ es $3 \cdot 5$ sólo hay un pequeño número de combinaciones que comprobar (de hecho, ya que $15$ es un producto de dos primos, uno de los tres factores debe ser $\pm 1$ ), y podemos recuperar rápidamente la factorización mencionada en la pregunta.

Nota: Para los lectores que no estén familiarizados con la reducción de ecuaciones polinómicas en módulo de primos, podemos concluir que $f$ no tiene ningún factor lineal con un poco más de trabajo, utilizando el Teorema de la Raíz Racional, que en este caso implica que las únicas raíces racionales posibles son $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$ ; la sustitución muestra que ninguna de ellas es una raíz. Incluso se puede evitar la mayor parte de este trabajo: La derivada del polinomio es $f'(x) = 5 x^4 - 1$ Así que $f$ es creciente cuando $|x| \geq 1$ pero $f(-3) = -69, f(-1) = 13, f(1) = 15$ De lo que podemos concluir que ninguno de los ocho candidatos es una raíz.

Answer 2

La declaración en Wikipedia cita un 1998 papel que se ocupan de las soluciones de $x^k-x=n$ para un número entero no negativo $n$ y $k=3,4,5$ . A su vez, este trabajo cita otro de Rabinowitz ("The Factorization of $x^5\pm x+n$ ", Matemáticas. Revista 61.3 (1988), 191-193) demostrando que si $x^5-x-r$ no tiene ningún factor lineal y sin embargo es reducible sobre los enteros, entonces una de las dos ecuaciones siguientes es verdadera: $$r=\pm F_{2j-1}F_{2j}\sqrt{F_{2j+2}}\tag1$$ $$r=\pm F_{2j}F_{2j+1}\sqrt{F_{2j-2}}\tag2$$ Los tres específicos $r$ que hacen que el quíntico se divida (en un factor cuadrático y otro cúbico) corresponden entonces a los únicos números de Fibonacci cuadrados no nulos de índice par, $F_2=1$ y $F_{12}=144$ :

• $(2)$ con $j=2$ da $r=\pm15$
• $(1)$ con $j=5$ da $r=\pm22440$
• $(2)$ con $j=7$ da $r=\pm2759640$

Como sólo hay tres quintas especiales, es posible memorizar los factores cuadráticos:

• $x^2\pm x+3$ divide $x^5-x\pm15$
• $x^2\mp12x+55$ divide $x^5-x\pm22440$
• $x^2\pm12x+377$ divide $x^5-x\pm2759640$

Entonces la división larga debería ser suficiente para encontrar el cofactor cúbico.

Answer 3

Veo que hay una respuesta a la 15. Lo he intentado, parece que no hay una raíz entera para $x^5 - x \pm 22440.$ Como 7 da 16800 pero 8 da 32760. Llegamos a $$ (x^3 + A x^2 + B x + C)(x^2 + D x + E) = x^5 - x \pm 22440 $$ No se trata de resolver todo el sistema a la vez, sino de hacer un coeficiente a la vez y reescribir el sistema. El término de grado cuatro debe ser 0, así que $A+D = 0$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + C)(x^2 -A x + E) = x^5 - x \pm 22440 $$ A continuación, el término cúbico es cero, por lo que $E-A^2 + B = 0, $ o $E = A^2 - B.$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + C)(x^2 -A x + (A^2 - B)) = x^5 - x \pm 22440 $$ Siguiente $x^2$ tiene 0, o $A^3 - AB -AB + C = 0,$ o $C = 2AB - A^3,$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + (2AB -A^3))(x^2 -A x + (A^2 - B)) = x^5 - x \pm 22440 $$ El coeficiente lineal es $-1,$ así que $A^2 B - B^2 - 2 A^2 B + A^4 = -1,$ o $A^4 - A^2 B - B^2 = -1.$

Cómo llegar; cómo tomar $x = A^2, y = B,$ tenemos $x^2 - xy - y^2 = -1,$ lo que significa que $x,y$ son números de Fibonacci consecutivos... como $(3,2), (8,5), (21,13), (55,34), (144, 89).$ Desde $x$ tiene que ser un cuadrado, intentaremos $A^2 = 144,$ $A = 12,$ $B = \pm 89$

Una selección es $$ (x^3 + 12 x^2 + 89 x + 408)(x^2 - 12 x + 55) = x^5 - x + 22440$$ Sólo negando $x$ da $$ (-x^3 + 12 x^2 - 89 x + 408)(x^2 + 12 x + 55) = -x^5 + x + 22440,$$ $$ (x^3- 12 x^2 + 89 x - 408)(x^2 + 12 x + 55) = x^5 - x - 22440,$$

Así que ahí tienes. Hemos podido utilizar el primer número de Fibonacci que también es un cuadrado. Más grande que $1$ Supongo que sí.

Answer 4

El miércoles por la mañana. Quería ver qué pasaba con mi truco de Fibonacci para el término constante más grande. Ahora sé que la lista de términos constantes exitosos es una consecuencia menor del hecho de que 144 es el mayor número cuadrado de Fibonacci. Esto fue demostrado por J. H. E. Cohn en 1964.

Números cuadrados de Fibonacci

Resumen de la prueba sobre los números cuadrados de Fibonacci

No hay una raíz entera para $x^5 - x \pm 2759640.$ Llegamos a $$ (x^3 + A x^2 + B x + C)(x^2 + D x + E) = x^5 - x \pm 2759640 $$ No se trata de resolver todo el sistema a la vez, sino de hacer un coeficiente cada vez y reescribir el sistema. El término de grado cuatro debe ser 0, así que $A+D = 0$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + C)(x^2 -A x + E) = x^5 - x \pm 2759640 $$ A continuación, el término cúbico es cero, por lo que $E-A^2 + B = 0, $ o $E = A^2 - B.$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + C)(x^2 -A x + (A^2 - B)) = x^5 - x \pm 2759640 $$ Siguiente $x^2$ tiene 0, o $A^3 - AB -AB + C = 0,$ o $C = 2AB - A^3,$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + (2AB -A^3))(x^2 -A x + (A^2 - B)) = x^5 - x \pm 2759640 $$ El coeficiente lineal es $-1,$ así que $A^2 B - B^2 - 2 A^2 B + A^4 = -1,$ o $A^4 - A^2 B - B^2 = -1.$

Cómo llegar; cómo tomar $x = A^2, y = B,$ tenemos $x^2 - xy - y^2 = -1,$ lo que significa que $x,y$ son números de Fibonacci consecutivos... como $(3,2), (8,5), (21,13), (55,34), (144, 89), \cdots$ Si permitimos $y=B$ negativo en su lugar, obtenemos
$$ \color{purple}{(1,-2), (3,-5), (8,-13), (21,-34), (55, -89), (144, -233), \cdots}$$

Desde $x$ tiene que ser un cuadrado, intentaremos $A^2 = 144,$ $A = \pm 12,$ $B = -233$ $$ (x^3 + A x^2 + B x + (2AB -A^3))(x^2 -A x + (A^2 - B)) = x^5 - x \pm 2759640 $$ Una selección es $$ (x^3 - 12 x^2 - 233 x + 7320)(x^2 + 12 x + 377) = x^5 - x + 2759640$$ Sólo negando $x$ da $$ (-x^3 - 12 x^2 + 233 x + 7320)(x^2 - 12 x + 377) = -x^5 + x + 2759640,$$ $$ (x^3 + 12 x^2 - 233 x - 7320)(x^2 - 12 x + 377) = x^5 - x - 2759640,$$

TODOS ESTOS:

jagy@phobeusjunior:~$ ./mse
  a:  -12  b:  -233  2ab-a^3:  7320  a^2-b:  377  prod:  2759640
  a:  -12  b:  89  2ab-a^3:  -408  a^2-b:  55  prod:  -22440
  a:  -1  b:  -2  2ab-a^3:  5  a^2-b:  3  prod:  15
  a:  -1  b:  1  2ab-a^3:  -1  a^2-b:  0  prod:  0
  a:  0  b:  -1  2ab-a^3:  0  a^2-b:  1  prod:  0
  a:  0  b:  1  2ab-a^3:  0  a^2-b:  -1  prod:  0
  a:  1  b:  -2  2ab-a^3:  -5  a^2-b:  3  prod:  -15
  a:  1  b:  1  2ab-a^3:  1  a^2-b:  0  prod:  0
  a:  12  b:  -233  2ab-a^3:  -7320  a^2-b:  377  prod:  -2759640
  a:  12  b:  89  2ab-a^3:  408  a^2-b:  55  prod:  22440