Explicación de un patrón regular que solo ocurre para los números primos

Question

Considere la posibilidad de multiplicación de las tablas de grupos de modulo $n$ con entradas de $k_{ij} = (i\cdot j)\ \%\ n$ visualizada de acuerdo a estos principios:

• Los colores son asignados a los números de $0 \leq k \leq n$ a partir de

  • $\color{black}{\textsf{black}}$ para $k=0$ más de

  • $\color{red}{\textsf{red}}$ para $k=\lfloor n/4\rfloor$ y

  • $\color{silver}{\textsf{white}}$ para $k=\lfloor n/2\rfloor$ y

  • $\color{blue}{\textsf{blue}}$ para $k=\lfloor 3n/4\rfloor$ vuelta a

  • $\color{black}{\textsf{black}}$ para $k = n$

• Los tamaños son asignados a los números de $0 \leq k \leq n$ por

  • $\textsf{1.5}$ si $k=\lfloor n/4\rfloor$ o $\lfloor 3n/4\rfloor$

  • $\textsf{1.0}$ lo contrario

• Las posiciones son desplazadas por $(n/2,n/2)$ modulo $n$ llevar $(0,0)$ hasta el centro de la mesa.

Visualizado de esta manera, en ocasiones se puede encontrar (para algunos $n$) muy regular multiplicación de las tablas de grupos como estos (con $n=12,20,28,44,52,68$):

Mi pregunta es:

¿Por qué estos patrones se producen exactamente cuándo $n = 4p$ con un primer número $p$?

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Encuentra aquí algunos ejemplos para $n \neq 4p$, por ejemplo, $n=61, 62, 63, 64$:

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Aquí algunos otros números primos: $n = 4\cdot 31 = 124$ e $n = 4\cdot 37 = 148$:

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Se puede observar que para $n = 4m$ e $x,y = m$ o $x,y = 3m$ el "tamaño de 1,5 puntos sistemáticamente separados por $0$ (= negro) y $n/2$ (= blanco) puntos, es decir, que no son sólo y exactamente $4$ valores a lo largo de estas líneas.

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En aras de la exhaustividad: la multiplicación de la tabla del grupo modulo $8 = 4\cdot 2$ (que también califica, pero no tan obviamente):

Answer 1

Si $n=4p$, entonces para $xy \equiv p$ o $3p$ mod $n$ necesita $p$ a dividir $x$ o $y$ pero $2$ a dividir ni: así, el "tamaño de la $1.5$" puntos están todos en las líneas de $x = p$, $x = 3p$, $y = p$ e $y = 3p$.

Answer 2

Para ampliar un poco sobre Robert Israels multa de respuesta, en primer lugar observamos que: $$ \begin{align} xy&\equiv n/4\\ xy&\equiv 3n/4 \end{align} $$ implica que $n$ debe ser divisible por $4$. Por lo tanto sólo tenemos estas situaciones cuando se $n=4q$ para algunos $q$. Esto es cierto si $q$ es primo o no. Entonces, consideremos $n=4q$ un poco más. A continuación, nos fijamos en: $$ \begin{align} xy&\equiv q\\ xy&\equiv 3q \end{align} $$ que se pueden resumir como: $$ xy=p(2m+1) $$ para algunos $m$. Este hecho revela el por qué $n=64=4\cdot 16$ también parece un poco de trabajo. Aquí $q=16$ así que cualquier solución a $xy=16(2m+1)$ va a trabajar. Tenemos las líneas de $x,y=\pm2,\pm4,\pm8,\pm16$ con densidad variable de "tamaño de 1,5 puntos.

Cuando $q$ es primo, el panorama se vuelve más sencillo ya que todas las soluciones a $xy=q(2m+1)$ tienen que estar en una de las cuatro líneas de $x=\pm q,y=\pm q$.

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ACTUALIZACIÓN: Algunas perspectivas sobre el caso general aquí. Escribir $n=4q+t$ para $t\in\{-1,0,1,2\}$. Entonces tenemos: $$ \begin{align} \lfloor n/4\rfloor &= q+\lfloor t/4\rfloor\\ \lfloor 3n/4\rfloor &= 3q+\lfloor 3t/4\rfloor \end{align} $$ donde podemos hacer la siguiente tabla: $$ \begin{array}{c|r|r|r|r} t & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline \lfloor t/4\rfloor & -1 & 0 & 0 & 0\\ \lfloor 3t/4\rfloor & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} $$ y así podemos cubrir cada una de las $t$-basado en un caso en que.

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CASO $t=0$

Primero vamos a reconsiderar el caso de $t=0$ , de modo que $n=4q$, la cual ya fue tratado anteriormente. Entonces: $$ xy=q(2\mu+1) $$ producirá "tamaño de 1,5 puntos. Si $q=ab$ es compuesto, entonces: $$ \begin{align} x&=a\\ y&=b(2\mu+1) \end{align} $$ dará lugar a una línea vertical de puntos de $2b$ aparte de que son todos de "tamaño de 1.5". Por otro lado, si $q$ es primo, entonces: $$ \begin{align} x&=q\\ y&=2\mu+1 \end{align} $$ dará lugar a una muy visible la línea vertical de puntos sólo se $2$ aparte.

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CASO $t=1$

Supongamos $t=1$. A continuación, $n=4q+1$. Para este caso, habiendo $xy\equiv\lfloor n/4\rfloor=q$implica: $$ \begin{align} xy &=q+\mu n \end{align} $$ Ahora, desde la $q,n$ son relativamente primos, $\mu$ debe ser un múltiplo de $q$ para dos situaciones a tener cualquier factor. Así que supongamos $\mu=\gamma q$. Entonces: $$ xy=(\gamma n+1)q $$ Así que si $q=ab$ tenemos: $$ \begin{align} x &= a\\ y &= (\gamma n+1)b \end{align} $$ demostrando que no hay líneas verticales que puede existir, ya que el $y$-los valores deben ser mucho más que $n$ unidades de distancia. Por otro lado, el uso de $\mu=0$ en la $y$-expresión anterior muestra por qué los puntos tienden a mentir sobre la hipérbola: $$ xy=p $$

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Creo que el resto de los casos se puede dividir en una forma similar, así que voy a parar aquí.