Por favor ayude a aclarar la confusión que tengo sobre los cosets

Question

en primer lugar mi definición de un coset que tengo es: Definición. Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$. A la izquierda coset de $H$ $G$ es un subconjunto de a $G$ que es de la forma $xH$ donde $x\in G$ $$xH = \{y\in G | y = xh \text{ for some }h\in H\}.$ $

Y aquí está el teorema de que me confunde.

Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$. Luego el izquierdo cosets de $H$ $G$ tienen las siguientes propiedades:

1. $x\in xH$ todos los $x\in G$;
2. si $x$ $y$ son elementos de $G$, y si $y = xa$ algunos $a\in H$,$xH = yH$;
3. si $x$ $y$ son elementos de $G$, y si $xH \cap yH$ es no-vacío, a continuación,$xH = yH$.

$\textbf{Proof.}$ Supongamos $x\in G$. A continuación,$x = x1$, pero $1$ $G$ $H$ desde $H$ es un subgrupo de $G$. Por lo tanto $x\in xH$, lo que demuestra (1).

Supongamos $x$ $y$ son elementos de $G$ y podemos elegir algunos $a\in H$ tal que $y = xa$. Ahora supongamos $z\in yH$. De ello se desprende que $z = yh$ algunos $h\in H$. Pero $y = xa$, por lo que sabemos que $z = xah$. Desde $H$ es un subgrupo y $a\in H$ $h\in H$ se sigue que $ah \in H$, por lo tanto $z\in xH$. Desde $z$ fue un elemento arbitrario de $yH$ podemos concluir que $yH\subseteq xH$. Ahora supongamos $z\in xH$. De ello se desprende que $z = xh$ algunos $h\in H$. Pero $x =ya^{-1}$, lo $z = ya^{-1}h$. Desde $H$ es un subgrupo y $a\in H$ se sigue que $a^{-1}$$H$. Del mismo modo, desde la $a^{-1}\in H$ $h\in H$ se sigue que $a^{-1}h \in H$, lo $z\in yH$. Desde $z$ fue un elemento arbitrario de $xH$ podemos concluir que $xH \subseteq yH$. Por lo tanto, podemos concluir que $xH = yH$, lo que demuestra (2).

Ahora supongamos que $x$ $y$ son elementos de $G$ $xH \cap yH$ no está vacía. Desde $xH \cap yH$ no está vacía podemos elegir algunos $z\in xH \cap yH$. Desde $z\in xH\cap yH$ se sigue que $z\in xH$$z\in yH$. Por lo tanto $z = xh_x$$h_x \in H$$z = yh_y$$h_y \in H$. Así, desde la $z = z$ en todos los grupos, $yh_y = xh_x$. Por lo tanto, $y =xh_xh_y^{-1}$. Desde $H$ es un subgrupo $x\in H$, $h_x\in H$ y $h_y\in H$, podemos concluir que $xh_xh_y^{-1} \in H$. Por lo tanto, por (2) sabemos que $xH = yH$, lo que demuestra (3). $\Box$

Ahora mi confusión se deriva de (1) y (3).

Supongamos $G = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ bajo$\star$, Entonces cada elemento de a $x_i$ $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$ es un miembro de $x_iH$ (1).

Por (3) sabemos que ningún elemento $x_i$ puede ser miembro de dos conjuntos de $x_iH$$x_jH$.

Pero dado que cada una de las $x_iH$ es un subconjunto de a $\{x_1, x_2, x_3, ..., x_n\}$, por lo que me parece que cada coset tendría que contener sólo un elemento.

Donde estoy equivocado en mi forma de pensar aquí? Muchas gracias

Answer 1

Podría ser que la $x_1H = x_2H$, aunque $x_1 \neq x_2$. En particular, si $h$$H$,$hH = 1H = H$, aunque $h$ no tiene que ser igual a $1$.

En general, si $H$ $m$ elementos, a continuación, $xH$ $m$ elementos. Los cosets repartir $G$ en piezas de tamaño $m$. Cada pieza ha $m$ nombres diferentes, $(xh) H = xH$ todos los $m$ $h$s en $H$.

Si $G$ es el grupo de puntos en el plano Cartesiano (la operación de la adición), y $H$ es una línea a través del origen (por ejemplo, el $x$-eje, el $y$-eje o de la línea de $y=x$ todos forman subgrupos), entonces el cosets de $H$ son todas las líneas paralelas a $H$. Cada línea puede ser llamado por cualquier de los puntos en ella.

Answer 2

(iii) solo dice que$x_i H$ y$x_j H$ son iguales o están completamente separados. Por lo tanto, si elige cualquier elemento$y$ de$xH$, entonces necesariamente será el caso que$xH = yH$. Tenga en cuenta que esto no implica que$x=y$, solo que$xH = yH$.

Por ejemplo, considere el grupo$G = \{1,x,y,xy\}$ donde$x^2 = 1$ y$y^2 = 1$ y considere el subgrupo$H = \{1,x\}$.

El coset$1 H = \{1, x\}$ y el coset$xH = \{x, x^2\} = \{1,x\}$. Por lo tanto$1H = xH$.

El coset$yH = \{y, yx\}$ que está separado de$1H$.

Answer 3

Un elemento $x_i$ puede ser un miembro de $x_iH$ $x_jH$ si $x_iH$ $x_jH$ son simplemente diferentes nombres (o descripciones) el mismo conjunto.

Pensar acerca de la coset $1_GH = H$ para empezar: para cada $h \in H$, $hH = H$. Todos los cosets $hH$ $h \in H$ son los mismos coset, es decir, $H$ sí. Mientras que esto es más obvio en el caso de $H$, lo mismo es cierto de todos los demás cosets de $H$: si $C$ es cualquier coset de $H$, $gH = C$ por cada $g \in C$.

Usted podría tratar de demostrar que para cualquier $x,y \in G$, $xH = yH$ si y sólo si $x^{-1}y \in H$; todos los ingredientes se pueden encontrar en la prueba de (1)-(3).