Continuidad uniforme de la función

Question

Sea $f:( 0, )R$ tal que $f(x) = 1/x $ entonces sabemos que no es uniformemente continuo. Como se muestra en el gráfico, para cualquier $ >0$, el mismo $$ no funciona en todas partes en el gráfico. Es decir, $$ cambia para el mismo $$ en la diferente parte del gráfico, por lo que la función no es uniformemente continua.

Ahora, si consideramos $g(x) = 1/x $ en $(a, )$ donde $a > 0$ entonces, también tengo diferentes $$, para el mismo $$ en diferentes partes del gráfico. Entonces, ¿por qué $g(x) = 1/x$ es uniformemente continuo en $(a,)$ donde $a> 0$?

Answer 1

Si consideramos el intervalo $I=(a,\infty)$, entonces vemos que, para cualquier $x,x' \in I$: \begin{align*} \lvert f(x) - f(x') \rvert &= \left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{x'} \right\rvert \\ &= \left\lvert \frac{x'-x}{x\cdot x'} \right\rvert \\ &< \frac{1}{a^2} \cdot \left\lvert x'-x \right\rvert \\ \end{align*} Para cualquier $\epsilon > 0$, podemos elegir $\delta = a^2\epsilon$ y ver que: $$ \lvert x - x' \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - f(x') \rvert < \epsilon \qquad \forall x,x' \in I$$ Por definición, $f(x)$ es uniformemente continua en $I$.

Para responder a tu pregunta sobre por qué con respecto al $\delta$ - el $\delta$ no es único. Elegir un $\delta$ más pequeño funciona. La continuidad uniforme significa que podemos elegir un $\delta$ que funcione independientemente de qué puntos se elijan - dependiendo solo de $\epsilon$.

Answer 2

Sea $\epsilon > 0$ y $g : (a,\infty) \to \mathbb R$ dada por $g(x) = 1/x$. Tomemos $\delta = a^2\epsilon$. Notemos que para cualquier $x,y \in (a,\infty)$, $xy \ge a^2$, por lo que $1/(xy) \le 1/a^2$. Entonces, si $|x-y| < \delta$,

$$ \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right| = \frac{|y-x|}{xy} \le \frac{|y-x|}{a^2} < \frac{\delta}{a^2} = \epsilon $$

Answer 3

Supongamos que no es uniformemente cont en $(a,\infty)$. Entonces existen las secuencias $u_n$ y $v_n$ tal que $|u_n-v_n|\to 0$ pero $|f(u_n)-f(v_n)|\not\to 0$. Sin embargo tenemos $|f(u_n)-f(v_n)| =|1/u_n -1/v_n| =|\dfrac{v_n-u_n}{u_nv_n}|$. Siempre y cuando $u_nv_n$ no se acerque a cero (debido a nuestro intervalo), podemos evaluar el límite del numerador y del denominador por separado. El numerador tiende a cero y el denominador estará acotado por $1/a$ y $0$. Por lo tanto $|f(u_n)-f(v_n)|\to 0$. Esto es una contradicción, por lo tanto $f$ es uniformemente continua en el intervalo.

De manera intuitiva, la continuidad uniforme significa que la función no puede volverse demasiado empinada. A medida que la pendiente aumenta, la proporción de cambio en y a cambio en x aumenta. En términos de epsilon-delta, esto significa que nuestra función no puede tener un epsilon infinitamente grande para un delta infinitesimal. En este caso, la parte "empinada" de la función ocurre en el límite hacia cero. Cuando elegimos el intervalo $(0,\infty)$ perdemos la continuidad uniforme. Pero cuando limitamos el intervalo en $a$, la pendiente de nuestra función puede ser acotada, y por lo tanto es uniformemente continua.