Topologizando el espacio de Borel para que ciertas funciones se vuelvan continuas.

Question

Deje $X$ $Y$ ser compacto métrica espacios. Deje $f:X \to Y$ ser un Borel medible mapa y supongamos que $T:X \to X$ es un homeomorphism. Se puede cambiar la topología en $X$ tal que

1. $X$ es todavía un compacto metrizable espacio, con los mismos conjuntos de Borel.
2. El mapa de $T$ sigue siendo continua.
3. El mapa de $f:X \to Y$ es continua.

?

Nota: Si $Y$ no es compacto, podemos encontrar contraejemplos tomando $f$ es una función no acotada. La respuesta es SÍ si sólo queremos completar metrizability de la nueva topología en $X$, en lugar de compacidad.

Answer 1

No: esto se deduce de: Si$\tau$ extiende adecuadamente la topología habitual en$[0, 1]$, entonces$\tau$ no es compacto. Lo mismo ocurre con cualquier espacio compacto de Hausdorff.

Answer 2

La respuesta es NO, incluso si olvidamos$T$ (O de manera equivalente, dejemos que$T=Id_X$). Más adelante publicaré una medida de debilitamiento teórico de esta pregunta, que me interesa más.

Contraejemplo: deje$X=[0,1]$ y$Y=[0,1] \cup \{-1\}$ y defina$f:X \to Y$ por$f(x)=x$ para$x \neq 0$ y$f(0)=-1$. Por lo tanto, requeriríamos una topología en$X$ tal que$\{0\}$ y$(x,1]$ para todos$0<x<1$ están abiertos. Por lo tanto, tenemos una cubierta abierta de$X$ dada por$$\{ (x,1] | x \in (0,1) \} \cup \{0\},$ $ que no tiene una sub-cubierta finita.

Answer 3

(Fubini tiene una buena respuesta, solo estoy dando un ejemplo concreto que pensé mientras estaba desconectado).

Tome$X=Y=[0,1]$ y$f=\chi_{\{0\}}$, la función de indicador del singleton$\{0\}$. Es decir, $$ f (x) = \begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & 0<x\leq 1.\end {casos} $$ Entonces$f$ es Borel, y si lo haces continuo, entonces$\{0\}$ debe estar abierto. Luego $$ \ {0 \}, (\ tfrac {1} {n}, 1] $$ con$n\in\mathbb{N}$, es una cubierta abierta de$[0,1]$ sin una subcapa finita.