¿Podría alguien verificar o ayudarme con mis respuestas? Gracias.
Mi trabajo actualizado (quizás alguien pueda ayudarme un poco más ahora): 
¿la primera no es correcta para todos los números 0+n*i?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Isaev
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47
La primera es incorrecta:
$$ e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) \neq 1 + i $$
El segundo tiene buena pinta.
La tercera y la cuarta no las has intentado.
Sugerencias: así es como se configuran. Si $w = z_1^{z_2}$ donde $z_1$ et $z_2$ son números complejos, entonces se escribe $$\log w = z_2 \log z_1$$ así que $$w = e^{\log w} = e^{z_2 \log z_1}.$$ (Si sólo quieres quitar el atajo $z_1^{z_2} = e^{z_2 \log z_1}$ Supongo que eso está bien, pero sería negligente si no agitara al menos las manos sobre el "por qué" del asunto).
Para el último, si $z = re^{i\theta}$ entonces $$\log z = \log{re^{i\theta}} = \log r + \log{e^{i\theta}} = \dots$$
Lo siento, me di cuenta de lo que estaba mal en lo que estoy diciendo todo lo que quería decir es si el ángulo es pi \2 entonces la forma x+yi debe consistir sólo en yi porque z debe ser 0.
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Re: #6, ¿qué es $\cos(\pi/2)$ ? Tenga en cuenta que para CUALQUIER $\theta$ tenemos: $|e^{i\theta}| = 1$ pero $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .