$\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\beta)$ si$\alpha, \beta$ es algebraico sobre$\mathbb{Q}$ de grado$2$ y$\alpha +\beta$ es la raíz de una cuadrática.

Question

Si $\alpha, \beta$ son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$ grado $2$ e $\alpha +\beta$ es una raíz de un polinomio cuadrático más de $\mathbb{Q}$, luego de demostrar que $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\beta)$.

Estoy atascado en mostrar a la declaración anterior. Creo que tenemos que demostrar que $\alpha$ puede ser escrito como $p+q\beta$ o viceversa. Pero me parece que no puede mostrar.

He intentado algo como se muestra a continuación, pero no consiguió nada:

Si $g(x)$ es el polinomio de $\alpha+\beta$, $g(x)=f(x)Q(x)+R(x)$ donde $f(x)$ es el polinomio de $\beta$

Ideas A Nadie?

Answer 1

Por la hipótesis, tiene seis números racionales $a_0,a_1,b_0,b_1,c_0,c_1$ tal que

$$\alpha^2+a_1 \alpha +a_0=0 \etiqueta{1}$$

$$\beta^2+b_1 \beta +b_0=0 \etiqueta{2}$$

$$(\alpha+\beta)^2+c_1(\alpha+\beta) +c_0=0 \etiqueta{3}$$

Ahora, (3)-(1)-(2) rendimientos :

$$2\alpha\beta+(c_1-a_1)\alpha+(c_1-b_1)\beta +c_0-a_0-b_0=0 \etiqueta{4}$$

o, equivalentemente,

$$\beta=\frac{-(c_1-a_1)\alpha}{2\alpha+c_1-b_1}, \alpha=\frac{-(c_1-b_1)\beta}{2\beta+c_1-a_1} \etiqueta{5}$$

Tenga en cuenta que los denominadores son distintos de cero debido a que $\alpha$ e $\beta$ tienen un grado $2$. Claramente, (5) implica ${\mathbb Q}(\alpha) = {\mathbb Q}(\beta)$.

Answer 2

Deje $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ ser algebraicas con grado de $2$ tal que $\alpha +\beta$ es también algebraicas de grado $2$. Supongamos que $\mathbb{Q}(\alpha) \neq \mathbb{Q}(\beta)$. Entonces tenemos la siguiente no-trivial de la pila de extensiones de Galois; $\mathbb{Q}(\alpha, \beta) \supset \mathbb{Q}(\alpha), \mathbb{Q}(\beta) \supset \mathbb{Q}$. Por lo tanto, el grupo de Galois se compone de cuatro elementos que se genera por la $\sigma$, $\eta$ que corrige $\mathbb{Q}(\alpha)$, $\mathbb{Q}(\beta)$, respectivamente. Tenga en cuenta que la aplicación de los elementos del grupo de Galois en $\gamma=\alpha + \beta$, tenemos cuatro elementos diferentes, $\gamma$, $\sigma(\gamma)$, $\eta(\gamma)$, $\sigma(\eta(\gamma))$. Por lo tanto, el polinomio mínimo de a$\alpha + \beta$ tiene el grado cuatro, lo que contradice el hecho de que $\alpha+\beta$ es de grado $2$. Esto completa la prueba.

Answer 3

Aquí es una alternativa pero no enfoque. Deje $a(x)$, $b(x)$, e $c(x)$ ser monic polinomios cuadráticos en $\mathbb{Q}[x]$ cuyas raíces se $\alpha$, $\beta$, e $\gamma:=\alpha+\beta$, respectivamente. Por la condición de que $\alpha$ e $\beta$ son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$ con grado de $2$, podemos ver que $a$ e $b$ son irreducibles sobre $\mathbb{Q}$. Si $c$ es reducible a más de $\mathbb{Q}$, a continuación, $\alpha+\beta=\gamma$ es racional, entonces es obvio que $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\gamma-\alpha)=\mathbb{Q}(\beta)$. Ahora suponemos que $c$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

Escribir $p(x)$ para $a(x-\beta)\ a(x-\bar{\beta})\in\mathbb{Q}[x]$, donde $\bar{\beta}$ es la otra raíz de $b(x)$. Claramente, $p(\gamma)=0$. Así, $c$ divide $p$ porque $c$ es irreductible. Ahora, si $\bar{\alpha}$ es la otra raíz de $a(x)$, luego $$p(x)=(x-\alpha-\beta)(x-\bar{\alpha}-\beta)(x-\alpha-\bar{\beta})(x-\bar{\alpha}-\bar{\beta}).$$ Por lo tanto, hay tres posibilidades.

Caso 1: $c(x)=(x-\alpha-\beta)(x-\bar{\alpha}-\beta)=a(x-\beta)$. Desde $a$ ha racional de los coeficientes, esto implica que $\beta\in\mathbb{Q}$, una contradicción.

Caso 2: $c(x)=(x-\alpha-\beta)(x-\alpha-\bar{\beta})=b(x-\alpha)$. Desde $b$ ha racional de los coeficientes, esto implica que $\alpha\in\mathbb{Q}$, una contradicción.

Caso 3: $c(x)=(x-\alpha-\beta)(x-\bar{\alpha}-\bar{\beta})$. Por lo tanto, tenemos $$\alpha\bar{\alpha}+\beta{\bar{\beta}}+(\alpha\bar{\beta}+{\bar{\alpha}}\beta)=(\alpha+\beta)(\bar{\alpha}+\bar{\beta})\in\mathbb{Q}.$$ Desde $\alpha\bar\alpha$ e $\beta\bar\beta$ son racionales, obtenemos $$\alpha\bar{\beta}+{\bar{\alpha}}\beta\in\mathbb{Q}.$$ Por lo tanto, $$\alpha(B-\beta)+(A-\alpha)\beta\in\mathbb{Q}$$ si $A=\alpha+\bar{\alpha}\in\mathbb{Q}$ e $B=\beta+\bar\beta\in\mathbb{Q}$. Así, $\alpha\beta$ es en el racional lapso de $1$, $\alpha$, e $\beta$. Esto significa $$\big[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}\big]\leq 3.$$ Pero $$\big[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}\big]=\big[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}(\alpha)\big]\ \big[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}\big]=2\ \big[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}(\alpha)\big].$$ La única incluso un número entero positivo menor o igual a $3$ es $2$, por lo que $$2\ \big[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}(\alpha)\big]=2$$ o $$\big[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}(\alpha)\big]=1.$$ Esto demuestra que $\beta\in\mathbb{Q}(\alpha)$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\beta)$.