Probar$\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+1}=\infty$ por la definición.

Question

Problema

Demostrar $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{x^3+1}{x^2+1}=\infty$ por la definición.

Nota:

El problema nos pide demostrar que, independientemente de la $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$, el límite es de $\infty$,que puede ser $+\infty$ o $-\infty.$

Prueba

$\forall M>0$,$\exists X=\max(1,M+1)>0, \forall|x|>X$： $$\begin{align*} \left|\frac{x^3+1}{x^2+1}\right|&=\left|x-\frac{x-1}{x^2+1}\right|\\&\geq |x|-\left|\frac{x-1}{x^2+1}\right|\\&\geq |x|-\frac{|x|+1}{x^2+1}\\&\geq |x|-\frac{x^2+1}{x^2+1}\\&=|x|-1\\&>X-1\\&\geq M. \end{align*}$$

Por favor, compruebe la prueba anterior.

Answer 1

Tu prueba es correcta.

Puede considerar pruebas más cortas utilizando algunas simplificaciones.

Como $x\to \infty$ asumimos $x>1$

PS

Answer 2

Tu prueba me parece bien.

Una opción:

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1);$

$x^2+1<x^2+x =x(x+1)$ , para $x >1$ .

$\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2+1}>$

$\dfrac{(x+1)(x^2-x+1)}{x(x+1)}=$

$x-1+1/x >x-1.$

Answer 3

Posiblemente correcto pero ilegible.

Considere $$\ frac {x ^ 3 +1} {x ^ 2 +1} = x- \ frac {x-1} {x ^ 2 +1}> x$$ siempre que sea $x>1$ .