Tratando de encontrar maneras de visualizar los patrones de un fractal de la secuencia, me las arreglé para convertir una secuencia a una escuela primaria de tipo autómata celular en el que el primer estado (o paso) del autómata se corresponde con la secuencia inicial, y el estado siguiente es una secuencia generada por una regla de sustitución, en la que el elemento más cercano a la derecha de un elemento que está marcado para ser eliminado (siguiendo la definición de la secuencia fractal) va a invadir (o "fagocitos" ) esa posición con su valor (el invasor valor aumentará su tamaño visual). La aplicación de esta regla en repetidas ocasiones, la evolución del estado del autómata en el tiempo es visualizado, y un patrón fractal surge.
Además, si cada elemento de la secuencia de cada estado representa una de bits binarios (marcado para ser eliminado = $0$, no marcado para ser eliminado = $1$), es posible obtener una representación de la secuencia original en términos de equivalente de secuencia obtenida por un binario de la manipulación de la situación. A continuación hay un ejemplo del algoritmo y las preguntas que están al final:
- Por ejemplo, la siguiente secuencia fractal, (OEIS A000265), cuando la primera aparición de cada número entero impar es eliminado -$1,3,5,7,9...$-, la secuencia resultante es la misma secuencia que el original:
$$\{1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,13,7,15,1,17,9,19,5,21...\}$$
- La siguiente imagen muestra el primer estado en la parte superior, que es la inicial de la secuencia de marcado de los elementos que serán eliminados (la primera $1$, primero $3$, primero $5$, etc. en color azul; y el segundo estado por debajo de la primera situación: los elementos marcados en el primer estado fueron "invadidos" (o "fagocitados") por el lado derecho de elementos que no se eliminan en el anterior paso, por lo que los elementos aumento de su tamaño. Y, a continuación, de nuevo nos marca los elementos que serán eliminados (la primera $1$, primero $3$, primero $5$, etc.:
- Repitiendo el proceso llegaremos a un patrón fractal como este (por ejemplo, en $5$ pasos):
- Ahora bien, si revisamos los valores verticales en cada elemento de la situación, podemos crear una secuencia única equivalente a la original fractal de la secuencia. Comenzando por el lado izquierdo de la columna y asumiendo que el primer estado (parte superior) representa el $2^0$, el segundo estado representa a $2^1$, y el color representa el valor de la multiplicación plazo ($\cdot 0$ si azul o $\cdot 1$ si no azul), obtenemos la secuencia:
$$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...\}$$
Por ejemplo, la primera columna es $0 \cdot 2^0 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^2 ... = 0$, la segunda columna es $1 \cdot 2^0 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^2 ... = 1$, etc.
Así, por este método, el equivalente a la secuencia de $\{1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,13,7,15,1,17,9,19,5,21...\}$$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...\}$.
El equivalente de secuencia variar dependiendo del fractal original de la secuencia, estos son algunos ejemplos (haga clic para ampliar la imagen):
Me gustaría hacer las siguientes preguntas:
Existen otros métodos para mostrar los patrones subyacentes de la fractal secuencias?
Con respecto a la idea en mi pregunta, inicialmente yo creo que cualquier fractal de la secuencia por este método tiene un equivalente autómata y un equivalente binario generado por la secuencia. Es eso correcto o no es un contraejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Después de pensar un poco más acerca de las opciones, esta es una posible manera de mostrar los patrones subyacentes. Me estoy explicando este método, pero realmente me gusta aprender de los demás, y compartir ideas con otros MSE de los usuarios, así que voy a mantener abierta la pregunta por algún tiempo.
En este caso, para el mismo ejemplo anterior, OEIS A000265, cada número inicial de la secuencia (o primer estado del autómata) es representado por un radio de $1$ circle (amarilla).
En el segundo paso, los elementos marcados para ser eliminados fueron "invadidos" por el más cercano de los elementos en su lado derecho. El invasor elemento creció. Nos muestran que el crecimiento mediante la adición de un nuevo círculo con un radio que abarca tanto a la invadió elemento (representado por su ex paso círculo) y el invasor (también representado por su anterior paso círculo).
Ese nuevo círculo es, por ejemplo, se muestra en color rojo. Cuando repetimos el algoritmo, o en otras palabras, seguimos evolucionando el autómata se muestra en la pregunta de algunos pasos más, finalmente el patrón empieza a surgir:
Es evidente que hay un patrón fractal por allí! Este mismo método puede ser aplicado a cualquier fractal de la secuencia, proporcionando patrones diferentes para cada uno. Y, por supuesto, es posible utilizar en lugar de círculos, rectángulos (o diamantes) o de otras formas.
El código de colores que puede representar la profundidad de el paso. Por ejemplo, los colores cálidos podría llenar los círculos que representan el estado inicial (o pasos) del autómata (que será círculos internos) y los colores fríos podría llenar la más externa y círculos más grandes (los últimos pasos del autómata).
Agradecería muy mucho el aprendizaje de otras visualizaciones!
