Desigualdad de producto de matrices.

Question

¿Es esta desigualdad verdadera? $X^T P Y \ge \lambda_{min}(P)X^TY$ si$P$ es una matriz definida positiva y$Y=sgn(X)$ donde$X$ es un vector,$sgn(X)$ es un vector cuyos elementos son el signo de los elementos de el vector$X$,$\lambda_{min}(P)$ es el valor propio mínimo de$P$. En general, ¿me puede dar una desigualdad que relacione$X^T P Y$ con$X^T Y$?

Answer 1

Está mal. Considere $$P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $ $ con el menor valor propio$\lambda\in (0,1]$ (el valor exacto no importa) y para$\epsilon > 0$$$ x = \begin{bmatrix} \epsilon \\ 1 \end {bmatrix}, \ qquad y = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix}. $$

Luego, tenemos \begin{align*} x^T P y - \lambda x^T y &= x^T (P - \lambda I) y \\ &=\begin{bmatrix} \epsilon \\ 1 \end {bmatrix} ^ T \begin{bmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 1 - \lambda \end {bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \epsilon \\ 1 \end {bmatrix} ^ T \begin{bmatrix} 1-\lambda \\ -\lambda \end # bmatrix} \\ & = \ epsilon (1- \ lambda) - \ lambda \ to - \ lambda <0 \ end {align *} para$\epsilon\to 0$.