Integración:

Question

Alguien me puede ayudar a resolver la siguiente integral:

PS

Answer 1

Tomar la integral :

$$I = \int \frac{1}{\sqrt{x^2-3}}dx$$

Sustituto $x=\sqrt3\sec(u)$$dx = \sqrt3\tan(u)\sec(u)du$.

Entonces, será :

$$\sqrt{x^2-3}=\sqrt{3\sec^2(u)-3}=\sqrt{3}\tan(u)$$

$$\text{and}$$

$$u=\sec^{-1}\bigg(\frac{x}{\sqrt3}\bigg)$$

Por lo que después de la sustitución, la integral se convierte en :

$$I=\sqrt3\int \frac{\sec(u)}{\sqrt3}du = \int \sec(u)du$$

Seguido por un pequeño "truco" aquí :

$$=\int\frac{\sec^2(u) + \tan(u)\sec(u)}{\tan(u) + \sec(u)}du$$

Ahora, suplente de nuevo :

$$s=\tan(u)+\sec(u)$$

$$\text{and}$$

$$ds=(\sec^2(u)+\tan(u)\sec(u))du$$

y la integral de la $I$ será :

$$I = \int \frac{1}{s}ds = \ln(s) + c$$

Empezar por la sustitución de la espalda $s$ y tienes :

$$I=\ln(\tan(u)+\sec(u))+c$$

La sustitución de la espalda, desde la inicial y la sustitución de la simplificación de la expresión debería ir a la

$$I=\ln(\sqrt{x^2-3} + x) + c$$

Answer 2

Sugerencia: puede simplificar mediante la sustitución trigonométrica$x=\sqrt 3\sec u$ y recordando el hecho de que$\sec^2u-1=\tan^2u$.

Answer 3

Una integral / derivada básica de$$\int\frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2-1}}=\arg\cosh x,$ $ y una muestra que$$\arg\cosh x=\ln\Bigl(x+\sqrt{x^2-1}\Bigr). $ $ Es fácil deducir que$$\int\frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\arg\cosh \frac xa.$ $

Answer 4

Deje$x=\sqrt 3\sec t$ y obtendrá$ \int \frac {1}{\sqrt{x^2-3}}\,dx=\int \sec(t)dt= ln( |sec(t)+ tan(t)|+C$ Ya que$x=\sqrt 3\sec t$, obtenemos$sec(t)=x/\sqrt 3$ y$tan(t)=(\sqrt 3/3)\sqrt {x^2-3}$ Por lo tanto, el resultado es$$\ln(x+\sqrt{x^2-3})+C$ $