La generalización de Ramanujan la prueba de Bertrand Postulado: Puede Ramanujan del enfoque se utiliza para mostrar un primer entre $4x$ y $5$ para $x \ge 3$

Question

Tal vez, he estado pensando mucho tiempo acerca de Ramanujan la prueba, pero a mí me parece que su argumento puede ser generalizados más allá de $x$ y $2x$. Mi argumento a continuación se intenta demostrar que $x \ge 1331$, siempre hay un primer entre $4x$ y $5$.

Puedo usar un argumento similar para establecer allí una de las principales de entre $2x$ y $3x$, y entre $3x$ y $4x$. Basado en algunas estimaciones aproximadas, parece que también debe trabajar para demostrar un primer entre $5$ y $6x$ así como una de las principales de entre $6x$ y $7x$.

Pues yo todavía estoy recibiendo a la velocidad de la teoría analítica de números, voy a ser muy feliz si alguien puede señalar el error que estoy haciendo en mi razonamiento. Yo todavía no soy capaz de encontrarlo.

Deje que $$\vartheta(x) = \sum_{p \le x}\ln(p)$$

Deje que $$\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\vartheta(x^{\frac{1}{n}})$$

Siguiente Ramanujan [véase (6)]:

$$\psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) \le \vartheta(x) \le \psi(x)$$

De forma análoga a Ramanujan la declaración acerca de:

$$\ln(\lfloor{x}\rfloor]!) - \ln(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor!) = \psi(x) - \psi(\frac{x}{2}) + \psi(\frac{x}{3}) - \psi(\frac{x}{4}) + \ldots$$

Aquí está mi reformulación en términos de $4x$ y $5$:

$$\ln(\lfloor\frac{x}{4}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{5}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{20}\rfloor!) = \psi(\frac{x}{4}) - \psi(\frac{x}{5}) + \psi(\frac{x}{8}) - \psi(\frac{x}{10}) + \ldots$$

donde para cada una de las sucesivas plazo podemos ver:

$$\psi(\frac{x}{4}) \ge \psi(\frac{x}{5}) \ge \psi(\frac{x}{8}) \ge \psi(\frac{x}{10}) \ge \ldots$$

Ya que, para cualquier entero $v \ge 1$, tenemos:

$$\psi(\frac{x}{20v+4}) - \psi(\frac{x}{20v+5}) + \psi(\frac{x}{20v+8})-\psi(\frac{x}{20v+10})+\psi(\frac{x}{20v+12}) -\psi(\frac{x}{20v+15}) + \psi(\frac{x}{20v+16}) - \psi(\frac{x}{20v+20}) + \ldots$$

Es decir, una disminución de la secuencia de los números reales tiende a 0, donde cada una de las sucesivas término tiene una alternancia de signo.

Así que, basándose en el razonamiento encontrado aquí, de la siguiente manera:

$$\psi(\frac{x}{4}) - \psi(\frac{x}{5}) + \psi(\frac{x}{8}) - \psi(\frac{x}{10}) + \psi(\frac{x}{12}) \ge \ln(\lfloor\frac{x}{4}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{5}\rfloor!) -\ln(\lfloor\frac{x}{20}\rfloor!)$$

Desde $\psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) \le \vartheta(x) \le \psi(x)$, se sigue que:

$$\psi(\frac{x}{4}) - \psi(\frac{x}{5}) + \psi(\frac{x}{8}) - \psi(\frac{x}{10}) + \psi(\frac{x}{12}) \le \vartheta(\frac{x}{4}) - \vartheta(\frac{x}{5}) + 2\psi(\sqrt{\frac{x}{4}}) + \psi(\frac{x}{8}) - \psi(\frac{x}{10}) + \psi(\frac{x}{12})$$

Utilizando el mismo razonamiento anterior, se puede señalar que:

$$\psi(\frac{x}{10}) - \psi(\frac{x}{12}) \le \ln(\lfloor\frac{x}{10}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{12}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{60}\rfloor!)$$

De modo que tenemos:

$$\psi(\frac{x}{4}) - \psi(\frac{x}{5}) + \psi(\frac{x}{8}) - \psi(\frac{x}{10}) + \psi(\frac{x}{12}) \le \vartheta(\frac{x}{4}) - \vartheta(\frac{x}{5}) + 2\psi(\sqrt{\frac{x}{4}}) + \psi(\frac{x}{8}) - [ \ln(\lfloor\frac{x}{10}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{12}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{60}\rfloor!) ]$$

lo que implica:

$$\vartheta(\frac{x}{4}) - \vartheta(\frac{x}{5}) \ge \ln(\lfloor\frac{x}{4}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{5}\rfloor!) -\ln(\lfloor\frac{x}{20}\rfloor!) - 2\psi(\sqrt{\frac{x}{4}}) - \psi(\frac{x}{8}) + \ln(\lfloor\frac{x}{10}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{12}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{60}\rfloor!)$$

De Rosser y Schoenfeld (1961), sabemos que (ver Teorema 12):

$$\psi(x) < 1.03883 x$$

Así que:

$$\vartheta(\frac{x}{4}) - \vartheta(\frac{x}{5}) \ge \ln(\lfloor\frac{x}{4}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{5}\rfloor!) -\ln(\lfloor\frac{x}{20}\rfloor!) - 2(1.03883)(\sqrt{\frac{x}{4}}) - (1.03883)(\frac{x}{8}) + \ln(\lfloor\frac{x}{10}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{12}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{60}\rfloor!)$$

Basado en la Aproximación de Stirling y mi razonamiento encontrado aquí, se sigue que $\vartheta(\frac{x}{4}) - \vartheta(\frac{x}{5}) > 0$ para $x \ge 1331$

También he comprobado que por $1331 > x > 2$, siempre hay un primer entre $5$ y $4x$ así que si mi argumento es válido, esto sería suficiente para establecer que siempre hay un primer entre $5$ y $4x$ para $x \ge 3$.

Es este enfoque válido?

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Actualización: he encontrado mi error. El paso siguiente es válido:

$$\psi(\frac{x}{4}) - \psi(\frac{x}{5}) + \psi(\frac{x}{8}) - \psi(\frac{x}{10}) + \psi(\frac{x}{12}) \le \vartheta(\frac{x}{4}) - \vartheta(\frac{x}{5}) + 2\psi(\sqrt{\frac{x}{4}}) + \psi(\frac{x}{8}) - [ \ln(\lfloor\frac{x}{10}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{12}\rfloor!) - \ln(\lfloor\frac{x}{60}\rfloor!) ]$$

Edit: he añadido una aclaración a continuación en qué tipo de respuesta que estoy buscando a esta pregunta.

Aclaración: estoy especialmente interesado en una de estas respuestas a esta pregunta:

• Es este enfoque ya "bien entendida" (en cuyo caso, yo estaría interesado en una referencia)
• ¿Este enfoque tiene "un gran vacío" (si es así, que parte del argumento es erróneo o necesidades adicionales de detalle)
• Podría ser interesante "si se demuestra que..." (¿qué resultado se necesita para que este enfoque sea interesante matemático).
• Como no podía ser "mejorado y hecho más claro..." (lo teoremas o técnicas de análisis permitiría reforzar o aclarar el argumento)
• Si el argumento se ve bien, ¿cuál sería el recomendado el siguiente paso?

Answer 1

Ramanujan la prueba es en realidad una simplificación de Chebyshev original [1852] prueba de Bertrands postulado (el artículo es Memoire sur les nombres estrenos. J. Math. Pures Appl. 17 de 1852). Chebyshev utiliza un fuerte enfoque demostrar mucho más de lo que Bertrand postulado, en particular, de su declaración se desprende directamente de su obligado mientras que sus métodos son esencialmente las mismas que Ramanujan del

Comienza a derivar la identidad $$ \log [x]! = \psi(x) + \psi\left(\frac x2 \right) + \psi\left(\frac x3 \right) + \dots $$ y entonces él la utiliza para derivar la siguiente identidad (similar a Ramanujan o s, pero más fuerte):

$$ \log \frac{ \left\lfloor x\right\rfloor! \left\lfloor \frac x{30} \right\rfloor!}{ \left\lfloor \frac x2 \right\rfloor!\a la izquierda\lfloor \frac x3 \right\rfloor!\a la izquierda\lfloor \frac x5 \right\rfloor! } = \psi\left(x\right)-\psi\left(\frac{x}{6}\right)+\psi\left(\frac{x}{7}\right) -\psi\left(\frac{x}{10}\right)+\psi\left(\frac{x}{11}\right) -\psi\left(\frac{x}{12}\right)+\psi\left(\frac{x}{13}\right) -\psi\left(\frac{x}{15}\right)+\psi\left(\frac{x}{17}\right) -\psi\left(\frac{x}{18}\right)+\psi\left(\frac{x}{19}\right) -\psi\left(\frac{x}{20}\right)+\psi\left(\frac{x}{23}\right) -\psi\left(\frac{x}{24}\right)+\psi\left(\frac{x}{29}\right) -\psi\left(\frac{x}{30}\right) + \dots - \dots $$ donde la secuencia en el derecho continúa con el período de 30 en el denominador, es decir, la primera que faltan términos son $\psi(x/31)-\psi(x/36)+\psi(x/37)- \dots $.

Como puede ver este es similar al argumento de que dar a los de arriba, como tenemos una secuencia alternante de no aumentar términos, por lo que usted puede enlazar por encima y por debajo de detenerse después de un par/impar número de términos: $$ \psi(x) - \psi\left(\frac x6\right) \le \log \frac{ \left\lfloor x\right\rfloor! \left\lfloor \frac x{30} \right\rfloor!}{ \left\lfloor \frac x2 \right\rfloor!\a la izquierda\lfloor \frac x3 \right\rfloor!\a la izquierda\lfloor \frac x5 \right\rfloor! } \le \psi(x) $$

Ahora la utiliza Stirling para encontrar la aproximación $$ Ax - \frac{5}{2}\log x - 1 < \log \frac{ \left\lfloor x\right\rfloor! \left\lfloor \frac x{30} \right\rfloor!}{ \left\lfloor \frac x2 \right\rfloor!\a la izquierda\lfloor \frac x3 \right\rfloor!\a la izquierda\lfloor \frac x5 \right\rfloor! } < X + \frac{5}{2}\log x $$ donde $$ A = \log \frac{2^{1/2}3^{1/3}5^{1/5}}{30^{1/30}} = 0.92129202 $$ que, combinado con el anterior, las desigualdades se obtiene: $$ \psi(x) > Ax -\frac{5}{2}\log x -1 \quad\text{y}\quad \psi(x)-\psi\left(\frac{x}{6}\right) < Ax + \frac{5}{2}\log x $$ Él utiliza un auxiliar funciont para telescopio esta desigualdad y encuentra que: $$ \psi(x) < \frac{6}{5}Ax + \frac{5}{4\log 6} \log^2 x + \frac{5}{4}\log x + 1 $$ Y ahora él usa la desigualdad $$ \psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) < \theta(x) < \psi(x) - \psi(\sqrt{x}) $$ para derivar (después de algunas técnicas de trabajo) que no son más que $k$ primos entre $l$ y $L$ si $$ l = \frac{5}{6} L - 2 \sqrt{L} - \frac{25 \log^2 L}{16\log 6}-\frac{5}{6A}\left(\frac{25}{4}+k\right)\log L - \frac{25}{6A} $$ Así que con $k = 0$, nos encontramos con que es una de las principales de entre $4x$ y $5$ para $x >= 2034$ y podemos comprobar numéricamente que el mismo es de $x \ge 1331$.

(Sin embargo, esto se queda corto para demostrar que siempre hay un primer entre $5$ y $6x$.)

Algunos comentarios acerca de sus aclaraciones:

• Como se ha comentado, hay una escuela primaria de la prueba del teorema de los números primos por lo que hay una escuela primaria prueba de que no es una imprimación de entre $x$ y $\epsilon x$ para todo $\epsilon$.

• Este es el primer resultado de su especie, pero los límites obtenidos por Chebyshev no son fáciles de mejorar sin necesidad de utilizar el PNT. Primera Sylvester [1881] En Tchebycheff de la teoría de la totalidad de los números primos comprendidos dentro de los límites dados. Mejorado el límite superior en $\psi(x)$ para $$ 0.95695 x \le \psi(x) \le 1.04423 x $$ El uso de (creo) combinaciones de identidades como de Chebyshev y Ramanujan. Nunca fui capaz de encontrar el artículo de modo que no estoy seguro acerca de Sylvester método o los resultados (por favor, compruebe ellos). Con estas desigualdades debe ser posible demostrar la existencia de un primer entre $10x$ y $11x$ para lo suficientemente grande como $x$.

• En http://arxiv.org/pdf/0709.1977v1.pdf usted puede encontrar una lista de todas las posibles identidades que se puede utilizar en casi directamente en el método de Chebyshev, hay varios infinito familias y 52 aislado identidades. (sin embargo, creo Chebyshev de la identidad es la que da la mejor posible enlazado usando sólo su método).

• Creo que el uso de Rosser y Schoenfeld del resultado $\psi(x)<1.03883 x$ es (en cierto sentido) de una importante brecha en su argumento. No sé cómo se deriva pero creo que como hay una gran cantidad de resultados en que el artículo que implica la existencia de un primer entre $kx$ y $(k+1)x$ para cada primo, así que me gustaría evitar para prevenir un razonamiento circular.