La suma de números naturales consecutivos no termina en 7,4,2,9.

Question

Calculé la suma de n números naturales consecutivos donde n = 1 a 100. Lo que quiero decir es$$\sum_{n=1}^{1}n = 1 $ $$$\sum_{n=1}^{2}n = 3 $ $$$\sum_{n=1}^{3}n = 6 $$

And I got answers and noticed that none of the summation answers ended in digits $ 7,4,2,9 $

Verifiqué con el código en python para los primeros 100 números

 
for n in range(1,100):
    a =0
    for i in range(1,n+1):
        a = a + i
    print a%10
 

Por que es esto entonces ? Acabo de comprobar para 100 números. ¿Esto es válido para cualquier número n? Si es así, ¿podemos probar esto?

Answer 1

Los números que usted la computación se denomina triangular números, y son de la forma:

$$\frac{n(n+1)}{2}$$

Supongamos que tenemos:

$$\frac{n(n+1)}{2}=10m+k$$

Esto nos dice que la cantidad de $n(n+1)$ es congruente a $2k$ modulo $20$. Así que nuestra tarea es mostrar que $n(n+1)$ nunca es congruente a $4,8,14,$ o $18$ modulo $20$. Esto se puede comprobar en una base de caso por caso, dejando $n$$0$$19$.

O bien, mediante la ingeniosa sugerencia dada por Thomas Andrews en los comentarios, aviso que

$$8\frac{n(n+1)}{2}+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2=80m+8k+1$$

Con $k=2,4,7,9$, sería de la siguiente manera en que $(2n+1)^2$ termina en un $7$ o $3$, lo cual es imposible.

Answer 2

SUGERENCIA: $$\sum_{n=1}^{r}n = n(n-1)/2 $ $

Ahora está preguntando por qué$n(n-1)/2$ no termina con dígitos como 2, 4, 7,9

El producto de dos números naturales consecutivos siempre termina con 0,2,6 (¡Prueba intuitiva!)
Entonces,$n(n-1)/2$ tendrá dígitos que terminan con 0,1,3,5. (donde 5 viene en el caso donde los últimos dos dígitos son 1 y 0)