Demostrar:

Question

$$\left(\frac{1+i\sqrt{7}}{2}\right)^4+\left(\frac{1-i\sqrt{7}}{2}\right)^4=1$ $ Intenté mover el exponente izquierdo a RHS para luego hacer diferencia de cuadrados exp. $(x^2)^2$. Sin embargo, no consiguió lo mismo en ambos lados. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Necesitamos resolver para$ab=2$ y$a+b=1$

$\implies a,b=?$

Use$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ dos veces para llegar a$$a^4+b^4=1$ $

Answer 2

Consejos:

• Solo realiza las operaciones.
• Tomar$4$ de poder es tomar cuadrado dos veces.
• Basta con hacerlo por un término y tomar su parte real.

Answer 3

Muy bien, quieres que la diferencia de cuadrados tenga alguna diferencia de cuadrados$$(\frac{1+i \sqrt7}{2})^4 + (\frac{1-i \sqrt7}{2})^4=$ $ Permite agregar$0$ ingeniosamente$$=(\frac{1+i \sqrt7}{2})^4 -2(\frac{1+i \sqrt7}{2})^2(\frac{1-i \sqrt7}{2})^2+ (\frac{1-i \sqrt7}{2})^4 + 2(\frac{1+i \sqrt7}{2})^2(\frac{1-i \sqrt7}{2})^2$ $$$=((\frac{1+i \sqrt7}{2})^2 - (\frac{1-i \sqrt7}{2})^2)^2 + 2(\frac{1+7}{4})^2 $ $ El$2(\frac{1+7}{4})^2$ proviene del término final de La segunda línea, puede verse como una diferencia de cuadrados, cuadrados. A continuación, trate con la diferencia de tsquares en el paréntesis cuadrado$$ = (\frac{2\cdot2 i \sqrt{7}}{4})^2 + 8 $ $$$ =-7+8=1$ $ QED

Answer 4

Deje que$(a_n)_n$ la secuencia que verifique$\begin{cases} a_0=2\\ a_1=1\\a_{n+2}=a_{n+1}-2a_n\end{cases}$

La ecuación característica de esta relación de recurrencia lineal es$x^2=x-2$

Cuyas raíces son$\dfrac{1\pm i\sqrt{7}}2$.

Por lo tanto,$a_n=\alpha r^n+\beta {\bar r}^n$ y dadas las condiciones iniciales, entonces$\alpha=\beta=1$.

Asi que $a_n=\left(\dfrac{1+i\sqrt{7}}2\right)^n+\left(\dfrac{1-i\sqrt{7}}2\right)^n$

¿Se nos pide que calculemos$a_4$?

• $a_2=a_1-2a_0=1-4=-3$
• $a_3=a_2-2a_1=-3-2=-5$
• $a_4=a_3-2a_2=-5+6=1$

Usa la secuencia entera para calcular cualquier otra potencia que desees ...

Answer 5

Permitir que$x=(1+i\sqrt 7\;)/(2\sqrt 2\;).$ desde$x\bar x=x^2\bar x^2=1$ y$x+\bar x=1/\sqrt 2\;$ tenemos$$((1+i\sqrt 7\;)/2)^4+(1-i\sqrt 7\;)/2)^4=4(x^4+ \bar x^4)=$$ $$=4((x^2+\bar x^2)^2-2x^2\bar x^2)=4((x^2+\bar x^2)^2-2)=$$ $$=4( ((x+\bar x)^2-2x\bar x)^2-2)=$$ $ PS