probabilidad condicional, $P(E(Y|X) = x)$

Question

He estado trabajando en algunos problemas con la probabilidad condicional y hay una cosa que no puedo entender.

Si quiero resolver el siguiente problema

Supongamos que $X$ y $Y$ son conjuntamente continuos absolutos con una función de densidad conjunta $$f_{X,Y}(x,y) = \frac{6}{19}(x^2+y^3)$$ para $0 < x < 2$ y $0 < y < 1$ y $0$ de lo contrario.

a) Comprobar que $E(E(X|Y)) = E(X)$
b) Comprobar que $E(E(Y|X)) = E(Y)$ .

Así que, en primer lugar, calculé la densidad marginal de ambos $X$ y $Y$ que es $$f_X(x) = \frac{6}{19}(x^2 + \frac{1}{4})$$ y $$f_Y(y) = \frac{4}{19}(3y^3 + 4)$$ .

así como $E(X)$ , $E(Y)$ , $$E(X|Y) = \frac{3(y^3 + 2)}{3y^3 + 4}$$ y $$E(Y|X) = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}}{x^2 + \frac{1}{4}}$$ .

Cuando quiero mostrar (a), pensé en tratar $E(X|Y)$ como una variable aleatoria, y calcular

$\int E(X|Y) * P(E(X|Y) = x) dx$

pero no estaba seguro de los límites, la $dx$ y especialmente no estoy seguro de cómo calcular $P(E(X|Y) = x)$ .

La solución, según mis fuentes, viene dada por

$\int_0^2 E(X|Y) * f_Y(y) dy$

y para (b) viene dada por

$\int_0^1 E(Y|X) * f_X(x) dx$ .

¿Alguien puede explicar el razonamiento que hay detrás de esto? Sobre sus elecciones de límites y $dx$ o $dy$ y por qué $P(E(X|Y)=x) = f_Y(y)$ ?

Answer 1

Si tienes una variable aleatoria $U$ con una densidad $f_U$ y una función $h$ entonces no se sorprenden si digo que la media de $V=h(U)$ es

$$E(V)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(u)f_U(u)\ du.$$

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La expectativa condicional es una función de la variable aleatoria en la condición. Se tiene $X$ , $Y$ con densidades y se tiene $E[X\mid Y]$ . Esta última expresión puede tratarse como una función de $Y$ . Existe una función $h(y)$ tal que

$$E[X\mid Y=y]=h(y) \,\, \text{ and } \, \,h(Y)=E[X\mid Y],$$

al menos con probabilidad uno. ( Esto es una consecuencia inmediata de la definición de la expectativa condicional. )

En consecuencia, basándonos en esta naturaleza "similar a una función" de la expectativa condicional, tenemos

$$E[E[X\mid Y]]=\int_{-\infty}^{+\infty}h(y)f_Y(y)\ dy$$

donde $$h(y)=E[X\mid Y=y].$$

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La elección de los límites es una consecuencia de la naturaleza del soporte de $f_{X,Y}$ desde

$$f_Y(y) = \frac{4}{19}(3y^3 + 4)=\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y) \ dx& \text{ if } f_{X,Y}(x,y)\ge 0\\ 0,& \text{ otherwise } \end{cases}$$

y $f_{X,Y}(x,y)$ es cero si $y\not \in [0,1]$ .

Por lo tanto, debe cambiar su fórmula para $f_Y(y)$ como sigue

$$f_Y(y)=\begin{cases} \frac{4}{19}(3y^3 + 4),& \text{ if } 0\le y\le 1\\ 0,& \text{ otherwise.} \end{cases}$$

El mismo razonamiento es aplicable en el caso de la otra densidad condicional. Así pues,

$$f_X(x)= \begin{cases} \frac{6}{19}(x^2 + \frac{1}{4}),& \text{ if } 0\le x\le 2\\ 0,& \text{ otherwise.} \end{cases}$$

Answer 2

$E(X|Y)$ es, como habrá observado, una variable aleatoria en $Y$ . Esto no es sorprendente ya que la expectativa de $X$ dependerá de qué $Y$ observamos. Una función de la variable aleatoria seguirá la misma densidad que su "padre" - se puede recordar, por ejemplo, que $E(X^2) = \int x^2 f_X(x) dx$ y en general $E(g(Y)) = \int g(y)f_Y(y) dy$ .

Ahora, si $E(X|Y)$ es una función de $Y$ (y $E(X|Y=y)$ es una función de $y$ ), entonces claramente deberíamos aplicar la misma lógica aquí, es decir $E(E(X|Y)) = \int E(X|y) f_Y(y) dy$ .