Si abandonamos el axioma de la regularidad, ¿la jerarquía acumulativa puede convertirse simplemente en una definición?

Question

En ZFC, el axioma de regularidad se utiliza para demostrar que todo conjunto es un elemento de alguna etapa de la jerarquía acumulativa. El índice de la menor de esas etapas es, por definición, el rango de ese conjunto.

Ahora supongamos que estamos trabajando en ZFC menos Regularidad. ¿Puede esta idea convertirse en una definición? Como, ¿qué pasa si definimos que un conjunto es clasificado si es un elemento de alguna etapa de la jerarquía acumulativa? Me imagino que seríamos capaces de demostrar el axioma de regularidad relativizado a conjuntos jerarquizados.

Supongamos que esta idea funciona. Entonces, nos gustaría tener una buena caracterización de la propiedad de estar clasificado que pueda ser utilizada antes de que los ordinales estén en su lugar, porque, por ejemplo, si definimos $\mathrm{S}(x) := x \cup \{x\},$ bueno sería bueno poder probar que si $x$ está clasificado, entonces $\mathrm{S}(x)$ es distinto de $x$ y que $\mathrm{S}(x)$ también está clasificado. Así que tengo curiosidad por saber si existe una buena caracterización de la propiedad de estar clasificado que no dependa de los ordinales.

Answer 1

La formulación habitual del axioma de regularidad contiene en realidad la esencia de una definición de "clasificado" que funciona en ausencia de ese axioma. Un conjunto $x$ está clasificado si cada conjunto $u$ que tiene $x$ como miembro también tiene un miembro mínimo (es decir, un miembro $y\in u$ tal que $y\cap u=\varnothing$ ). No es difícil demostrar que esta noción de "clasificado" es equivalente a estar en alguna etapa de la jerarquía acumulativa.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que cuando se define la jerarquía acumulativa, primero hay que definir la noción de "ordinal" de forma que se garantice que los ordinales están bien ordenados. No basta con "conjunto transitivo de conjuntos transitivos", aunque no pasa nada si añades que los ordinales deben estar ordenados en el sentido que he definido antes.

Con la definición de "clasificado" que sugerí anteriormente, es bastante fácil demostrar, en ZFC sin regularidad, que todos los axiomas de ZFC (incluida la regularidad) son verdaderos cuando se restringen a conjuntos clasificados. Creo que ésta es la forma más sencilla de demostrar la consistencia relativa del axioma de regularidad.

Answer 2

Sí. Los conjuntos de la jerarquía acumulativa se llaman "bien fundados", o se dice que "tienen un rango", y la clase de todos ellos puede llamarse $\mathrm{WF}$ .

Answer 3

La equivalencia de $\sf Reg$ y "No disminuye $\in$ -cadenas" requiere el axioma de elección, y se puede demostrar que es falso sin él.

Si se quiere dar una definición que capte el hecho de estar clasificado, hay que tener en cuenta que basta con exigir que $\operatorname{TC}(x)$ está bien fundado, para que $x$ tiene un rango. Donde $\operatorname{TC}(x)$ es el cierre transitivo de $x$ . Que se puede definir sin usar ordinales.