¿Es$p_1p_2...p_k - 1$ alguna vez un poder perfecto?

Question

¿Es$p_1p_2...p_k - 1$ una potencia perfecta, donde$p_1 < p_2 < ... < p_k$ son los números primos más pequeños?

El caso de los cuadrados es simple, pero estoy luchando para generalizar a todos los poderes.

Answer 1

Creo que he trabajado fuera de mí mismo:

Deje $p_1p_2...p_k = x^n + 1$. Como se ha señalado por asdf, $n$ no se puede aún. Podemos reducir nuestra búsqueda para el caso de al $n$ es primo, ya que cualquier potencia donde la $n$ está compuesto puede ser reducido a la potencia de un primo.

Puesto que todos los números primos hasta el $p_k$ no se dividen $x$,$x > p_k$. Esto a su vez nos da ese $n < k$. Pero, desde $k < p_k$, $n$ debe ser uno de los principales contenidos en el producto $p_1p_2...p_k$. Por lo tanto, vamos a $n=P$ donde $p_1 < P \le p_k$.

Por Fermat Poco Teorema, $x^P \equiv x\mod P$. A partir de la condición de la pregunta, también tenemos que $x^P \equiv -1 \mod P$. Por lo tanto, $P \mid x+1$.

Por lo tanto, vamos a $x=tP-1$ donde $t>0$. Por tanto, tenemos que

$$p_1p_2...p_k = (tP-1)^P+1 = (tP)^P+...+\binom{P}{1}(tP)$$

Sin embargo, desde la $P^2$ divide el lado derecho, pero no la LHS, tenemos una contradicción para $k>1$.

Answer 2

Si excluye el caso$2-1=1^2$, la respuesta es NO.

Supongamos que tienes$$p_1p_2...p_n=x^2+1$ $

Entonces tendrías$3|x^2+1$ y esto es una contradicción.

Puedes igualmente excluir todos los poderes pares.

En lo que respecta a la generalización, lo pensaré un poco más y lo publicaré si hago algún progreso.