Esta desigualdad $a+b^2+c^3+d^4\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^4}$

Question

deje $0<a\le b\le c\le d$, y tal $abcd=1$,muestran que $$a+b^2+c^3+d^4\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^3}+\dfrac{1}{d^4}$$

parece más difícil de lo que Esta desigualdad $a+b^2+c^3\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$

Answer 1

Para tener en cuenta la restricción $0 \le a \le b \le c \le d$ definimos tres variables$u,v,w$, con lo cual cada ser restringido a $[1,\infty)$ y poner $b=au^4,\ c=bv^4,\ d=cw^4.$ La razón por la cuarta poderes es tener simples representaciones de $a,b,c,d$ que hacen ellos también satisfacer la restricción $abcd=1.$ Este es un iff tipo de condición que lleva a expresiones únicas para cada uno de $a,b,c,d$ es decir $$a=\frac{1}{u^3v^2w} \\ b=\frac{u}{v^2w} \\ c=\frac{uv^2}{w} \\ d=uvw^2.$$

Ahora vamos a $f(a,b,c,d)=a-1/a+b^2-1/b^2+c^3-1/c^3+d^4-1/d^4.$ la expresión queremos mostrar es no negativa. Sustituimos en $f$ las expresiones anteriores para $a,b,c,d$ en términos de $u,v,w$ y obtener una expresión equivalente a $g(u,v,w)$ en las nuevas variables. La ventaja es que ya no hay restricciones en $u,v,w$ aparte de que cada uno está en $[1,\infty)$

Utilizando un CAS obtenemos para $g(u,v,w)$ una expresión de haber denominador $u^4v^8w^{12}$, y el numerador es $m(u,v,w)$ donde $$m(u,v,w)=u^8v^{16}w^{24}+(v^4-w^4)[u^7v^{10}w^9+uv^2w^{11}] \\ +u^6^4w^{10}-u^2v^{12}w^{14}-1.$$ Si ahora resulta que $v \ge w$ $m$ es fácilmente visible a ser no negativo, ya que (recall $u,v,w \ge 1$) el primer término domina la variable resta uno, y también claramente $u^6v^4w^{10}-1 \ge 0.$

El otro caso es aquel en el que $v<w,$ y no podía ver la mancha de manera de completar este caso. Sin embargo, de hecho es comprobable mediante la definición (después de cambiar las variables por ninguna buena razón, pero mis notas) el polinomio $h(x,y,t)=m(x,y,y+t).$ Así que aquí $t$ es medir el grado por el cual el tercero de $u,v,w$ supera el segundo, para reflejar que estamos viendo en el caso restante se $v<w.$ Cuando esta $h(x,y,t)$ se expande en un polinomio en $t$ de grado 24, con coeficientes de cada uno de los polinomios en la $x$ y $y$, es bastante fácil ver que estos coeficientes son cada uno positivo, aunque hay que reconocer que tedioso. Por ejemplo, el coeficiente de $t^4$ $$xy^{10}(10626x^7y^{26}-589x^6y^9+210x^5-1001xy^{12}-1035y^3).$$ Aquí el primer término domina la resta en términos de cada uno de sus exponentes superiores a los de otras condiciones, y también (más claramente en este caso) el coeficiente de contribución del primer término, más que compensa la de la resta de términos. Sigue el mismo para todos los otros términos, sólo que no sé si alguien lo quiere que me escriba todo en (prefiero no).

Me gustaría ver un impermeable a prueba de, al menos, de el caso de $v<w.$

[He eliminado una propuesta de simplificación ya que para demostrar que un polinomio tiene no negativos derivados consiste en mostrar a todos los de su (la derivada) coeficientes no negativos, que se realiza básicamente como el anterior que no tiene fácil atajo.]

Answer 2

Aquí es un "casi completa" solución, excepto para el último paso, donde estoy francamente un poco atascado. También apunta en la dirección de un algoritmo general en la resolución de este tipo de $\sum_{i=1}^{n}x_i^i \ge \sum_{i=1}^{n}x_i^{-i}$ problemas como usuario math110 señaló.

La condición de $abcd = 1$ es bastante molesto, se realiza una técnica llamada "homogeneización". Es decir, la desigualdad presentada no es homogénea en ambos lados. Podemos hacer que sea homogénea mediante la multiplicación de un cierto poder de $P :=abcd = 1$ a cada término: $$\begin{align*} aP^\frac{3}{4}+ b^2 P^\frac{2}{4} + cP^\frac{1}{4} + d^4 \ge a^{-1}P^\frac{5}{4} + b^{-2}P^\frac{6}{4} + c^{-3}P^\frac{7}{4} + d^{-4}P^\frac{8}{4} \end{align*}$$ Nota el patrón en la elección de la potencia de $P$ a utilizar. Para cada término de grado $k \in \{-4, -3, \cdots, 3, 4\}$, el poder para levantar a $P$$(4 - k)/4$. Para simplificar algunos de notación, denotan $[k_1, k_2, k_3, k_4] = a^{k_1}b^{k_2}c^{k_3}d^{k_4}$. Podemos reescribir nuestra desigualdad como $$\begin{align*} \left[\frac{7}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right] + \left[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{13}{4}, \frac{1}{4}\right] + \left[0, 0, 0, 4\right] \\ \ge \left[\frac{1}{4}, \frac{5}{4}, \frac{5}{4}, \frac{5}{4}\right] +\left[\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right] + \left[\frac{7}{4}, \frac{7}{4}, -\frac{5}{4}, \frac{7}{4}\right] + \left[\frac{8}{4}, \frac{8}{4}, \frac{8}{4}, -\frac{8}{4}\right] \end{align*}$$ La transformación de $(a, b, c, d) \mapsto (a^4, b^4, c^4, d^4)$, por lo que podemos trabajar exclusivamente con números enteros a la vez que se preserva el orden de la relación de $0 \le a \le b \le c \le d$, $$\begin{align*} \left[7, 3, 3, 3\right] + \left[2, 10, 2, 2\right] + \left[1, 1, 13, 1\right] + \left[0, 0, 0, 16\right] \\ \ge \left[1, 5, 5, 5\right] +\left[6, -2, 6, 6\right] + \left[7, 7, -5, 7\right] + \left[8, 8, 8, -8\right] \end{align*}$$ Para simplificar la notación, vamos a escribir $\ell_1 + \ell_2 + \ell_3 + \ell_4 \ge r_1 + r_2 + r_3 + r_4$, donde cada símbolo representa la correspondiente notación de corchetes. Ahora un poco de fondo. La técnica de la "aislado fudging" los límites de cada $r_j$ en uno de los lados de la desigualdad por una combinación lineal $\sum_{k=1}^{4}{w_{jk}\ell_k}$ tal de que la parte positiva de pesos $w_{jk}$ satisfacer $\sum_{j=1}^{4}{w_{jk}} = 1$. Así, se intenta demostrar $\sum_{k=1}^{4}{w_{jk}\ell_k} \ge r_j$ y $$\begin{align*} \sum_{k=1}^{4}{\ell_k} =\sum_{k=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}{w_{jk}\ell_k} = \sum_{j=1}^{4}\sum_{k=1}^{4}{w_{jk}\ell_k}\ge \sum_{j=1}^{4}{r_j} \end{align*}$$ En nuestra situación, podemos explícitamente para resolver estos coeficientes a través de la serie de ecuaciones $$\begin{align*} (r_j) = \sum_{k=1}^{4}{w_{jk}(\ell_k)} \end{align*}$$ donde $(\cdot)$ realizado en cada monomio denota la vectorizados versiones con el estándar de las operaciones vectoriales, e.g $(\ell_1) = (7, 3, 3, 3)$ como un vector. La razón por la que hacemos esto es porque $r_j \le \sum_{k=1}^{4}{w_{jk}\ell_k}$ sigue inmediatamente a partir de un promedio ponderado de AM-GM con pesas $w_{jk}$ y componentes de $\ell_{k}$. Si estamos para resolver todas estas ecuaciones, obtenemos $$\begin{align*} (w_{jk}) = \frac{1}{25}\begin{pmatrix}-1 & 24 & 24 & 24 \\ 12 & -13 & 12 & 12 \\ 8 & 8 & - 17 & 8 \\ 6 & 6 & 6 & -19 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Esto es casi la respuesta, especialmente ya que la suma de cada columna es igual a 1. Sin embargo, el problema es que, ponderado AM-GM sólo funciona cuando todos los pesos $w_{jk}$ son positivos, por lo que esta prueba parece un poco falso. Yo sostengo que realiza la operación de trasladar los valores de una fila de $(w_{jk})$ a otra fila, dentro de la misma columna. Esto no cambia el valor de $\sum_{k=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}{w_{jk}\ell_k}$, pero sí cambia la parte inferior enlazado $r_j$. De alguna manera involucran esto con el fin de las condiciones de $0 \le a \le b \le c \le d$, para llegar a la respuesta.

Answer 3

Supongamos que es cierto para $n=3$:

$$\forall 0 \le \le b \le c \wedge abc = 1 : a - \frac{1}{a} + b^2 - \frac{1}{b^2} + c^3 - \frac{1}{c^3} \ge 0.$$

Deje $d \ge c \ge 1$, entonces es claro que

$$\forall 0 \le \le b \le c \le d \wedge abcd = d : a - \frac{1}{a} + b^2 - \frac{1}{b^2} + c^3 - \frac{1}{c^3} + d^4 - \frac{1}{d^4} \ge 0.$$

Vamos ahora a definir $$una' = \frac{a}{\mu^{24}}, b' = \frac{b}{\mu^{12}}, c' = \frac{c}{\mu^{8}}, d' = \frac{d}{\mu^{6}},$$ el uso de $$24 = 4!, 12 = 4!/2, 8 = 4!/3, 6 = 4!/4.$$ Tenemos $$a' b' c' d' = \frac{a}{\mu^{24}} \frac{b}{\mu^{12}} \frac{c}{\mu^{8}} \frac{d}{\mu^{6}} = \frac{abcd}{\mu^{50}} = \frac{d}{\mu^{50}},$$ así $$a' b' c' d' =1,$$ si $$\mu = \sqrt[50]{d}.$$ Como $d \ge 1$, está claro que $\mu \ge 1$. La desigualdad puede ser escrito como $$\frac{a}{\mu^{24}} - \frac{\mu^{24}}{a} + \frac{b^2}{\mu^{24}} - \frac{\mu^{24}}{b^2} + \frac{c^3}{\mu^{24}} - \frac{\mu^{24}}{c^3} + \frac{d^4}{\mu^{24}} - \frac{\mu^{24}}{d^4} \ge 0.$$ Por lo tanto $$\mu^{24} \left( \frac{a}{\mu^{48}} - \frac{1}{a} + \frac{b^2}{\mu^{48}} - \frac{1}{b^2} + \frac{c^3}{\mu^{48}} - \frac{1}{c^3} + \frac{d^4}{\mu^{48}} - \frac{1}{d^4} \right) \ge 0.$$ De dónde $$\mu^{24} \left( a - \frac{1}{a} + b^2 - \frac{1}{b^2} + c^3 - \frac{1}{c^3} + d^4 - \frac{1}{d^4} \right) - \left( \mu^{12} - \frac{1}{\mu^{12}} \right)\big( a + b^2 + c^3 + d^4 \big) \ge 0.$$ Que puede ser escrito como $$a - \frac{1}{a} + b^2 - \frac{1}{b^2} + c^3 - \frac{1}{c^3} + d^4 - \frac{1}{d^4} \ge \mu^{-24} \left( \mu^{12} - \frac{1}{\mu^{12}} \right)\big( a + b^2 + c^3 + d^4 \big).$$ Como $\mu \ge 1$, obtenemos

$$\forall 0 \le \le b \le c \le d \wedge abcd = 1 :\\ a - \frac{1}{a} + b^2 - \frac{1}{b^2} + c^3 - \frac{1}{c^3} + d^4 - \frac{1}{d^4} \ge 0.$$

Este método permite mostrar que en el caso de $n+1$ es verdadera, SI en el caso de $n$ es cierto.