Tengo razones para creer que debe haber una primaria, de forma relativamente sencilla de encontrar todas las soluciones de la ecuación en el título en los enteros positivos $x>y$$z$. Alguna idea?
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Roger Hoover
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56
Sólo un montón de consideraciones por ahora.
Vamos que definir el peso de Hamming $H$ $n$ como el número de bits "1" en la representación binaria de $n$. Tenemos, por ejemplo, $H(7)=3$, $H(15)=4$, $H(2^m)=1$. Por otra parte, vamos a $a_k=3^k-1$.
Tenemos $a_{k+1}=(2+1)a_k+2$.
La reclamación. Para cada $k\geq 5$, $H(a_k)\geq 3. \tag{1}$
Si podemos demostrar la anterior afirmación, es obvio que tenemos que $(x,y,z)=(6,4,4)$ es la única solución de la ecuación dada. Podemos considerar que:
$$\begin{array}{rcr} a_4 &=& 1010000_{2}\\ a_5&=&11110010_2\\ a_6&=&1011011000_2\\ a_7&=&100010001010_2\\ a_8&=&1100110100000_2 \\ a_9&=&100110011100010_2\end{array}$$
y que si $a_k\pmod{16}\not\in\{0,1,2,4,8\}$ $H(a_k)$ $\geq 3$ seguro.
La misma conclusión se aplica en el caso de $a_k\pmod{32}\not\in\{0,1,2,4,8,16\}$.
Si $k$ tiene que ser un múltiplo de $4$ según lo declarado por W-t-P en los comentarios y demostrado por Jyrki Lahtonen,
tiene sentido establecer $b_k=a_{4k}$ y probar
La reclamación. Para cada $k\geq 2$, $H(b_k)\geq 3. \tag{2}$
tal vez a través de $b_{k+1}=(2^6+2^4+2^0) b_k + (2^6+2^4)$ y/o
$$ \log_2(3) \approx \frac{1623}{1024} = 1.1001010111_2.$$
La pregunta es, de hecho, se establecieron por un resultado de Dubitskas, dando que la distancia de a $\left(\frac{3}{2}\right)^k$ desde el entero más cercano es$\geq 2^{-ck}$$c\approx 0.793$. Un resultado en diophantine aproximaciones de la siguiente manera a partir de la obra de Beukers, Thue y Siegel (la hipergeométrica método).
Creo que, finalmente, fue capaz de recuperar (?) la primaria de la solución mencionada en la literatura. Voy a mostrar a continuación que las únicas soluciones en los enteros positivos $x,y,z$ $x=4,y=6,z=4$, $x=6,y=4,z=4$, y $x=y=z=2$.
La reducción de la $2^x+2^y+1=3^z$ modulo $3$, llegamos a la conclusión de que tanto $x$ $y$ son incluso; decir, $x=2a$$y=2b$, lo $4^a+4^b+1=3^z$. La reducción de ahora modulo $4$ vemos que $z$ es incluso, demasiado, y la sustitución de la $z=2c$ da $4^a+4^b+1=9^c$.
Suponer sin pérdida de generalidad que $a\le b$. Si $a=1$, $4^b+5=9^c$ donde $b=1$ y por lo tanto también se $c=1$, ya que de lo contrario la reducción de modulo $16$ obtendríamos $9^c\equiv 5\pmod{16}$, lo cual es imposible (el orden de $9$ modulo $16$$2$). Por lo tanto $a\ge 2$, y la reducción de la $4^a+4^b+1=9^c$ modulo $16$ obtenemos $9^c\equiv 1\pmod{16}$, de donde $c$ es incluso; escribimos $c=2u$ conseguir $4^a+4^b+1=81^u$.
Sabemos que $a\ge 2$. Si, de hecho, $a=2$,$4^b+17=81^u$, de donde $(9^u-2^b)(9^u+2^b)=17$, lo $u=1,b=3$; que es, $x=z=4$, $y=6$.
Nos quedamos, entonces, con el caso donde $b\ge a\ge 3$. La reducción de la $4^a+4^b+1=81^u$ modulo $64$ y observar que el orden de $81$ modulo $64$$4$, llegamos a la conclusión de que $u$ es divisible por $4$, de donde $4^a+4^b+1=3^{16v}$, $u=4v$. La reducción de entonces modulo $85$ (que es un divisor de a $3^{16}-1$), obtenemos $4^a+4^b\equiv 0\pmod{85}$. Dividiendo por $4^a$ da $4^{b-a}\equiv -1\pmod{85}$. Sin embargo, no hay poder de $4$ congruente a $-1$ modulo $85$, como se puede comprobar fácilmente el orden de las $4$ modulo $85$$4$). Esto demuestra que no hay soluciones con $a,b\ge 3$.
R. J. Mathar
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21
Las únicas soluciones son dadas por un comentario a la ecuación (8.036) en el artículo http://dx.doi.org/10.2140/pjm.1982.101.263 por Brenner y Foster (Pac. J. Matemáticas 101 (1982) no 2, p 263-301).
PMar
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11
@W-t-P MENOR NIT: también Existe la solución trivial $x$=0, $y$=0, $z$=1. Y puesto que el problema original dice 'solución en los números enteros', no 'solución en los números naturales', también hay que observar que no existen soluciones que contengan números negativos (porque cualquiera de los dos consigue una igualdad entre un número entero y una fracción [en], o después de que uno borra fracciones de uno obtiene una igualdad entre un múltiplo de una potencia de tres y una potencia exacta de los dos).
