Cómo resolver el 29 de junto de ecuaciones cuadráticas?

Question

Tengo un conjunto de 29 de junto de ecuaciones cuadráticas, con 29 variables desconocidas.

¿Alguien puede ofrecer ningún consejo sobre cómo podía resolver esto?

3 días de mirar fijamente una pared hasta el momento ha dado a mí, sin pensar en cómo hacer todo esto.

EDITAR: $T_1 = X_1^{2} X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \\$

$T_2 = X_2^{2} X_1 X_3 X_4 X_5 X_6 \\$

$T_3 = X_3^{2} X_1 X_2 X_4 X_5 X_6 \\$

$T_4 = X_4^{2} X_1 X_2 X_3 X_5 X_6 \\$

$T_5 = X_5^{2} X_1 X_2 X_3 X_4 X_6 \\$

$T_6 = X_6^{2} X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 \\$

$T_7 = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7^2 X_8 X_9 X_{10} (1-X_5) \\$

$T_8 = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8^2 X_9 X_{10} (1-X_5) \\$

$T_9 = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9^2 X_{10} (1-X_5) \\$

$T_{10} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10}^2 (1-X_5) \\$

$T_{11} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11}^2 X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \\$

$T_{12} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12}^2 X_{13} X_{14} X_{15}\\$

$T_{13} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13}^2 X_{14} X_{15} \\$

$T_{14} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14}^2 X_{15} \\$

$T_{15} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15}^2\\$

$T_{16} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 (1-X_6)(1-X_9)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16}^2 X_{17}\\$

$T_{17} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 (1-X_6)(1-X_9)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17}^2\\$

$T_{18} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17} (1-X_9)(1-X_5)(1-X_{16}) X_{18}^2 X_{19} X_{20} X_{21}\\$

$T_{19} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17} (1-X_9)(1-X_5)(1-X_{16}) X_{18} X_{19}^2 X_{20} X_{21}\\$

$T_{20} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17} (1-X_9)(1-X_5)(1-X_{16}) X_{18} X_{19} X_{20}^2 X_{21}\\$

$T_{21} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17} (1-X_9)(1-X_5)(1-X_{16}) X_{18} X_{19} X_{20} X_{21}^2\\$

$T_{22} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_5) X_7 X_8 X_9 X_{10} [(1-X_{17} + (1-X_9)(1-X_7)X_{16}X_{17}] + (1-X_2)\} X_{22}^2 X_{23}$

$T_{23} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_5) X_7 X_8 X_9 X_{10} [(1-X_{17} + (1-X_9)(1-X_7)X_{16}X_{17}] + (1-X_2)\} X_{22} X_{23}^2$

$T_{24} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_3) + (1-X_5)(1-X_8)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{24}^2 X_{25}$

$T_{25} = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_3) + (1-X_5)(1-X_8)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{24} X_{25}^2$

$T_{26} = X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_4) + \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5))X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \}(1-X_{12}) + X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}(1-X_{20})(1-X_5)(1-X_9)(1-x_16) +(1-X_25)\{(1-X_3) + (1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} (1-X_8) \}X_{24}X_{25} \} X_{26}$

$T_{27} = X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_4) + \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5))X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \}(1-X_{12}) + X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}(1-X_{20})(1-X_5)(1-X_9)(1-x_16) +(1-X_25)\{(1-X_3) + (1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} (1-X_8) \}X_{24}X_{25} \} X_{27}$

$T_{28} = \{ X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_4) + \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5))X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \}(1-X_{12}) + X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}(1-X_{20})(1-X_5)(1-X_9)(1-x_16)+(1-X_25)\{(1-X_3) + (1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} (1-X_8) \}X_{24}X_{25} \} \}(1-X_{27}+ X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17} (1-X_9)(1-X_5)(1-X_{16}) X_{18} X_{19} X_{20} X_{21}(1-X_20) +(1-X_{13})X_{28}X_{29} X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \} X_{28}$

$T_{29} = \{ X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_4) + \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5))X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \}(1-X_{12}) + X_7 X_8 X_9 X_{10} X_{11}X_{12} X_{13} X_{14} X_{15}X_{16}X_{17}X_{18}X_{19}X_{20}X_{21}(1-X_{20})(1-X_5)(1-X_9)(1-x_16)+(1-X_25)\{(1-X_3) + (1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} (1-X_8) \}X_{24}X_{25} \} \}(1-X_{27}+ X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} X_{16} X_{17} (1-X_9)(1-X_5)(1-X_{16}) X_{18} X_{19} X_{20} X_{21}(1-X_20) +(1-X_{13})X_{28}X_{29} X_1, X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \{ (1-X_6) + (1-X_{10})(1-X_5)X_7 X_8 X_9 X_{10} \} X_{11} X_{12} X_{13} X_{14} X_{15} \} X_{29}$

Aquí están las ecuaciones, mi incógnitas son X términos. T términos son conocidos.

T y X, los términos son reales y positivos.

Gracias por los comentarios, todavía tratando de entender lo que es una "base de Groebner" está tan lejos... EDICIÓN FINAL

Answer 1

En la siguiente, supongo que el $(X_i)$ son números reales.

Tras el Pp.. comentario acerca de Grobner base, podemos resolver el sistema constituido con el primer $6$ ecuaciones cuando el $(T_i)_{i\leq 6}$ son genéricamente elegido.

Obtenemos un resultado en la forma $a{X_1}^7+b=0$ y, para cada $i\leq 6$, $X_i=c_iX_1$. Si el $(T_i)$ $(X_i)$ son reales, entonces obtendremos un único (y explícito) solución para $(X_i)_{i\leq 6}$.

EDICIÓN 1. Puesto que el $(X_i)_{i\leq 6}$ son conocidos, resolver los siguientes bloques de las ecuaciones (obtenemos exactamente el mismo tipo de ecuaciones como la anterior)

yo) $\{7,\cdots,10\}$, $a{X_7}^5+b=0$, una solución en $X_7,\cdots,X_{10}$.

ii) $\{11\cdots 15\}$, $aX_{11}^6+b=0$, $0$ o $2$ soluciones en $X_{11},\cdots,X_{15}$..

iii) $\{16,17\}$, $aX_{16}^3+b=0$, una de las soluciones.

iv) $\{18,\cdots,21\}$, después de $\{22,23\}$, después de $\{24,25\}$. Ecuaciones $26,27$ tienen un grado $1$$X_{26},X_{27}$. Cada una de estas ecuaciones se admite en general una solución única.

v) las Ecuaciones $28,29$ están en el formulario $aX_{28}X_{29}+bX_{28}=c,dX_{28}X_{29}+eX_{29}=f$, $0$ o $2$ soluciones.

EDICIÓN 2. Grobner base de la teoría es inútil. De hecho, la(s) solución de un sistema de $n$ ecuaciones en la forma de nuestro primer $6$ ecuaciones es: ${X_1}^{n+1}=\dfrac{{T_1}^n}{T_2\cdots T_n}$ y, para cada $i\leq n$, $X_i=\dfrac{T_i}{T_1}X_1$.

EDICIÓN 3. (en respuesta a haberse regenerado Pelusa). El conjunto de soluciones de nuestro sistema es cero-dimensional sobre $\mathbb{C}$. Entonces es fácil de mantener sólo las soluciones reales. Aquí el sistema es de bloque triangular ; además, en cada bloque (usando las soluciones de los bloques anteriores) admite una "solución efectiva" en el siguiente sentido: no es $i$ y un polinomio $P$ grado $d$ s.t. $P(x_i)=0$ y, para cada $j\not= i$, existen polinomios $P_j$ de degre $<d$ s.t. $x_j=P_j(x_i)$. Finalmente, nuestro sistema ha genéricamente $0$ o $4$ soluciones reales. Este es un sistema simple y claramente puede ser fácilmente resuelto por el estándar de software bajo la condición de que el elegido de la orden de la incógnita es esencialmente $X_1,\cdots,X_{29}$ ; de lo contrario, el tiempo de cálculo es probable que sea muy largo.

Por lo menos, los 2 equipos de investigadores están trabajando sobre este tema: el LABIO 6 laboratorio (J. C. Faugère) y un grupo de alrededor de M. Moreno Maza. El primero de los estudios, los llamados semi-regulares de los sistemas de $\mathbb{C}$ y la segunda en el estudio de los llamados regulares semi-algebraica de los sistemas de $\mathbb{R}$.