$6$ Mujeres y $5$ Hombres problema del número de posiciones que no entiendo

Question

Tengo mi examen final de matemáticas discretas el próximo lunes y estoy tratando de averiguar cómo resolver algunos problemas. El que más me está costando es muy confuso porque no sé cómo abordarlo, mucho menos resolverlo. Aquí está la pregunta

Un grupo contiene 5 hombres y 6 mujeres. ¿Cuántas formas hay de organizar a estas personas en una fila si los hombres y mujeres se alternan? Pista: organiza primero a las mujeres.

Una parte de mí piensa en hacer una combinación $C(6,5)$ donde hay $6$ grupos y se deben ordenar $5$. Sin embargo, un amigo dice que hay que multiplicar $5!\times 6!$. Luego mi profesor tiene otra explicación larga que ni siquiera puedo seguir porque la explica tan rápido

No tengo dudas de que esto estará en el examen, pero simplemente no entiendo cómo resolverlo.

Answer 1

De acuerdo, porque los hombres y las mujeres deben alternar, sabemos que la única configuración posible es que se alineen W M W M W M W M W M W, es decir, alternar con mujeres en cada extremo.

Entonces ahora podemos dividir esto en dos problemas más pequeños: ¿cuántas formas podemos organizar a las 6 mujeres, y cuántas formas podemos organizar a los 5 hombres? Bueno, una permutación de n objetos puede ocurrir de $n!$ formas (hay n elecciones para el primer objeto, n-1 para el segundo, y así sucesivamente). Así que hay $6!$ formas de organizar a las mujeres y $5!$ formas de organizar a los hombres. Como no hay forma de que el orden WMW cambie, no hay otras formas en que el patrón pueda cambiar.

Así que la respuesta es $6! * 5!$, como dijo tu amigo.

También quería comentar tu intuición de realizar $C(6,5)$. Eso significaría que solo estás ordenando 5 elementos, pero sabemos que estamos alineando todos los 11! Entonces me pregunto cómo te enseñaron a pensar en combinaciones y permutaciones?

Answer 2

Creo que la respuesta dada por mixedmath está equivocada. Cerca, pero equivocada. Sé que esto es antiguo pero aparece en la primera página de resultados cuando buscas la pregunta en Google. Él no tiene en cuenta que una mujer puede empezar primero o un hombre puede empezar primero, así que creo que la respuesta correcta es 2 * (6! * 5!).

EDICIÓN: Lo siento por eso, sí, él tenía razón, y yo estaba equivocado. Estaba resolviendo un problema similar que tenía un número igual de hombres y mujeres y sin pensar lo apliqué a este. Mis disculpas.