Primer autovalor de Laplace y la desigualdad de Poincaré

Question

Cualquier idea sobre cómo resolver: $\int_{\Omega} |\nabla u|^2 d^n x=\lambda_1\int_{\Omega}u^2 d^n x$,$u\in H^1_0(\Omega)$$\Omega\subset\mathbb{R}^n$, e $\lambda_1$ el primer autovalor de la negativa de Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet en $\Omega$ - estoy sospechando $u$ es el eigenfunction correspondiente a $\lambda_1$, pero estoy buscando una rigurosa prueba.

Answer 1

Primera solución:

Deje $S=\{u\in H_0^1(\Omega):\ J(u)=1\}$ donde $J:H_0^1(\Omega)\to\mathbb{R}$ está definido por $$J(u)=\int_\Omega |u|^2=\|u\|_2^2$$ Define $I:S\to\mathbb{R}$ by $$I(u)=\int_\Omega |\nabla u|^2=\|u\|_{1,2}^2$$

i - $\lambda_1=\min_{u\in S} I(u)$

ii - Si $u\in H_0^1(\Omega)$ satisface $I(u)=\lambda _1$, $u$ es un eigenfunction asociados con $\lambda_1$.

Para demostrar ii, tenga en cuenta que el plano tangente de $S$ $u$ está dado por $S^\perp_u=\{v\in S:\ \int_\Omega uv=0\}$. Deje $\epsilon>0$ ser un número pequeño y condider la función de $F:(-\epsilon,\epsilon)\times S^\perp_u\to\mathbb{R}$ definido por $$F(t,v)=\int_\Omega\left|\nabla \left(\frac{u+tv}{\|u+tv\|_2}\right)\right|^2$$

Tenga en cuenta que $\frac{u+tv}{\|u+tv\|_2}$ es una parametrización de $S$ en un barrio de $u$. Para cada uno de ellos fijo $v\in S^{\perp}_u$ tenemos que $t=0$ es un mínimo para la función de $F(t,v)$. Si se calcula la derivada, usted encontrará que $$\frac{dF(0,v)}{dt}=\int_\Omega \nabla u\nabla v-\lambda_1\int_\Omega uv=0$$

Ahora puede concluir.

Segunda solución:

Esta respuesta supone que los autovalores del operador $-\Delta$ fueron caracterizados por medio de la alternativa de Fredholm y también que $\lambda_1$ se caracteriza por el yo. En particular, tenemos una descomposición espectral de $H_0^1(\Omega)$ y la multiplicidad de los autovalores son finitos.

Suponga que $u\in H_0^1(\Omega)$ satisface $\|u\|_{1,2}^2=\lambda_1$$\|u\|_2=1$. Escribir $$u=\sum_{i=1}^\infty (u,\varphi_i)\varphi_i$$

donde $\varphi_i$ son las funciones propias asociadas con $\lambda_i$ (recordar que es una descomposición ortogonal) y $(\cdot,\cdot)$ denota producto interior en $H_0^1(\Omega)$. Tenga en cuenta que $$\lambda_1=\|u\|_{1,2}^2=(u,u)=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i(u,\varphi_i)^2\tag{1}$$

Por otro lado, recordar que $\|u\|_2=\sum_{i=1}^\infty (u,\varphi_i)^2$, por lo $$\lambda_1= \sum_{i=1}^\infty \lambda_1(u,\varphi_i)^2\tag{2}$$

Combinamos $(2)$ $(3)$ a la conclusión de que

$$\sum_{i=1}^\infty (\lambda_i-\lambda_1)(u,\varphi_i)^2=0$$

lo que implica que $\lambda_i=0$$\lambda_i>\lambda_1$. Debido a $\lambda_1$ tiene multiplicidad finita, llegamos a la conclusión de que $u=\sum_{i=1}^m (u,\varphi_i)\varphi_i$, donde cada una de las $\varphi_i$ $i=1,...,m$ es un eigenfunction asociados con $\lambda_1$, por lo tanto $$-\Delta u=-\Delta \left(\sum_{i=1}^m (u,\varphi_i)\varphi_i\right)=-\sum_{i=1}^m (u,\varphi_i)\Delta \varphi_i=\lambda_1 u$$