Área superficial de un Toro usando formas diferenciales,

Question

Estoy estudiando la integración sobre variedades. Quiero calcular el área de la superficie del toro.

Me dieron la parametrización usual

$f(u,v)= ((a+b\cos(v))\cos(u), (a+b\cos(v))\sin(u), b\sin(v))$ para $0\leq u,v \leq 2\pi$.

Sé que el área se puede calcular como $\int_T \omega$ donde $T$ denota el toro y $\omega$ denota el formulario de volumen de la variedad.

Pude calcular el formulario de volumen de la variedad tridimensional "el toro sólido". Pero no entiendo cómo calcular el formulario de volumen de la frontera de esta variedad (que es $T$).

Agradezco cualquier idea.

Answer 1

Para calcular el área, ¿no harías la siguiente integral?

$ \int\int|f_u\times f_v|dudv $

Para encontrar el elemento de volumen, calcula la matriz jacobiana $J$, deja $G=J^TJ$ y luego el elemento de volumen es el determinante de $G$.

Answer 2

Dado que tienes una representación del Toro mediante una incrustación $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3$ y el volumen (área) es algo que obtienes del espacio objetivo (es ahí donde haces la medición) necesitas 'retroceder' la métrica al dominio de definición $U$. La fórmula resultante es, en geometría diferencial, comúnmente dada por $$\int_U \sqrt{|g|} du\wedge dv$$ donde $g$ es el determinante del llamado tensor métrico $(g_{ij})$. En el caso bidimensional simplemente tienes $$g_{11} = \langle f_u, f_u\rangle, \, g_{12}= g_{21} = \langle f_u, f_v\rangle, \, g_{22} = \langle f_v, f_v\rangle $$

(En general es

$$g_{ij} = \langle f_{x_i}, f_{x_i}\rangle$$ con $x_i$ las funciones de coordenadas).