Una afirmación de que a es un cuadrado

Question

Tenemos enteros $a,b,c,d$ tal que $a<b\le c<d$ y $ad=bc$ y $\sqrt{d}-\sqrt{a}\le 1$ Demuestra que $a$ es un cuadrado perfecto.Esta pregunta es bastante increíble para mí.De todos modos no sé si estoy reenviando esto aquí.

Answer 1

Demostremos que $a = n^2 ,\; b = n^2+n = c,\; d = (n+1)^2$ es la única solución.

La condición $\sqrt{d}-\sqrt{a} \leq 1$ muestra que $$d\leq a+2\sqrt{a}+1.$$

Dejemos que $b = a+x,\; c = a+y,\; d = a+z$ con $x,y,z \in \Bbb N$ . Entonces $0<x\leq y < z \leq 2\sqrt{a}+1$ , mostrando $0<x\leq y \leq 2 \sqrt{a}$ . Además:

$$ad = bc = (a+x)(a+y) = a^2+(x+y)a+xy$$ y reduciendo $\bmod a$ muestra $a \mid xy$ . Así, $$a\leq xy$$ y hay $k \in \Bbb N$ tal que $xy = ak$ . Esto lleva a $ad = bc= (a+x)(a+y) = a(a+x+y+k)$ y dividiendo por $a$ rinde $a+x+y+k = d \leq a+2\sqrt{a}+1$ . Como $k\geq 1$ concluimos que $$x+y\leq 2\sqrt{a}.$$

Encontramos $4a \leq 4xy \leq 4xy +(x-y)^2 = (x+y)^2 \leq 4a$ . Por lo tanto, $x=y$ por $(x-y)^2 = 0$ . Finalmente $x+y = 2\sqrt{a}$ implica que $a$ es necesariamente un cuadrado perfecto.