Va a la siguiente expresión irracionales, racionales o entero?

Question

Va a la siguiente expresión irracionales, racionales o entero?

$$\sqrt[3]{\sqrt a +b} - \sqrt[3]{\sqrt a -b}$$

donde $a$ = $52$ y $b$ = $5$ .

Por intuición, creo que esto va a ser un número entero.

Answer 1

La expresión rápidamente trae a mi mente las fórmulas de Cardano para un (deprimido) cúbicos. Lo que sugiere la siguiente:

Podemos reescribir como $$\sqrt[3]{b+\sqrt{a}} + \sqrt[3]{b - \sqrt{a}}.$$ Esta es una raíz de la cúbico $y^3 + 3py + q=0$, donde $b = \frac{-q}{2}$ $a=\frac{q^2+4p^3}{4}$.

Con $b=5$,$q=-10$, por lo que $$52 = a = \frac{100+4p^3}{4}.$$ Esto le da a $4p^3 = 208-100 = 108$, lo $p^3 = 27$ o $p=3$.

Por lo tanto, la expresión en cuestión es una raíz de la cúbico $$y^3 + 9y -10 = 0.$$ Este cúbicos tiene una evidente raíz entera $y=1$ (o puede utilizar la raíz racional de la prueba a ver si tiene raíces racionales si esto no es obvio), que después de factoring da $$y^3 + 9y - 10 = (y-1)(y^2 + y+10).$$ El cuadrática es irreducible sobre $\mathbb{R}$, por lo que sus raíces son complejas.

Suponiendo que te refieres a la real cúbicos raíces de los números reales, ya que nuestro número es real, debe ser igual a $1$.

Answer 2

Vamos a usar la identidad de $(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3+\beta^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta)$

Set $\alpha =\sqrt[3]{b+\sqrt{a}} \text{ and } \beta= \sqrt[3]{b - \sqrt{a}} \text { and } \alpha+\beta=x$

Sabemos que $\alpha\beta = \sqrt[3]{b+\sqrt{a}} \times \sqrt[3]{b - \sqrt{a}} = \sqrt[3]{b^2-a} = \sqrt[3]{25-52} = -3$

Por lo $x^3= b+\sqrt a + b-\sqrt a - 9x = 2b-9x = 10-9x$

Usted sabe que usted está buscando una respuesta real, porque la $a$ es positivo y los dos raíces cúbicas son, por tanto, raíces cúbicas de números reales. Arturo ha factorised el cúbicos, pero es fácil ver que 1 es una raíz de (entero raíces deben ser divisores de 10).